Hay muchos espacios diferentes de Hilbert, así que vamos a elegir uno y visualizarlo. Tomemos el espacio de Hilbert [matemática] H [/ matemática] de funciones continuas de valor real en el intervalo de unidad, [matemática] [0,1] \ a \ mathbf R [/ matemática].
Este es un espacio vectorial de dimensión infinita, por lo que no puede visualizarlo todo, pero puede visualizar partes de él.
Un elemento individual de [matemática] H [/ matemática] es una sola función tal como [matemática] f (x) = \ sin2 \ pi x [/ matemática], graficada en rojo a continuación.
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Los espacios de Hilbert son espacios vectoriales, por lo que necesitará múltiplos de elementos y sumas de elementos.
Todos los múltiplos de [math] f (x) = \ sin2 \ pi x [/ math] forman un subespacio unidimensional de [math] H [/ math]. Algunos de ellos están graficados en otros colores.
Las sumas en este espacio de Hilbert [matemáticas] H [/ matemáticas] son solo sumas puntuales de funciones y también son fáciles de ver.
Además de los múltiplos y las sumas, en un espacio de Hilbert necesita saber qué elementos están cerca de otros elementos, es decir, necesita visualizar una vecindad de un elemento. Una vecindad del elemento [math] f (x) = \ sin2 \ pi x [/ math] en [math] H [/ math] incluye todas las funciones cuyas gráficas están cerca de [math] y = \ sin2 \ pi x [/matemáticas]. Algunos de ellos están graficados aquí:
Los barrios más pequeños requieren que los elementos estén más cerca del elemento dado.
Una secuencia de elementos se aproxima a otra si su distancia se reduce cada vez más. Para [math] f (x) = \ sin2 \ pi x [/ math] en [math] H [/ math], eso solo significa que las gráficas de las funciones en la secuencia se aproximan a la gráfica [math] y = \ sin2 \ pi x [/ matemáticas].
