¿Cómo se puede definir con precisión el principio de incertidumbre en términos matemáticos?

Aquí está la forma más fácil que conozco:

Para un vector arbitrario v, y los operadores A y B, considere los vectores que resultan al aplicar A a v y B a v. Entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz dice

[matemáticas] | A v | ^ 2 | B v | ^ 2 \ ge | \ langle A v | B v \ rangle | ^ 2 [/ matemáticas]

Para derivar la relación de incertidumbre, tenga en cuenta que el producto vectorial es la expectativa del operador AB, cuya magnitud siempre es mayor que su porción imaginaria (ya que siempre puede haber una parte real), de modo que

[matemáticas] | \ langle Av | B v \ rangle | = | \ langle v | AB | v \ rangle | \ ge | \ langle v | \ frac {AB-BA} {2i} | v \ rangle | [/matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} | \ langle v | [A, B] | v \ rangle | [/matemáticas]

Combinando estos dos pasos, uno obtiene

[matemáticas] \ langle A ^ 2 \ rangle \ langle B ^ 2 \ rangle \ ge \ frac 1 4 | \ langle [A, B] \ rangle | ^ 2 [/ math]

Para obtener el principio habitual de incertidumbre de la posición del momento, simplemente establezca un operador en x y el otro en p.

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Cabe señalar que existe otro tipo de principio de incertidumbre que involucra el tiempo. El principio de incertidumbre del tiempo de energía es el ejemplo más conocido. La forma general está dada por Mandelstam y Tamm.