En palabras:
En la mecánica cuántica, un producto tensor se utiliza para describir un sistema que está formado por múltiples subsistemas. En esencia, es un espacio Hilbert más grande construido a partir del “producto” de los espacios sub-hilbert más pequeños. Los productos de las funciones de onda y los operadores en un espacio con los de otro también se conocen como productos Tensor.
El constructo es útil en las descripciones de partículas que interactúan ya que generalmente conocemos bastante bien los espacios de Hilbert de las partículas que no interactúan y el estado de interacción vive en el espacio definido por el producto tensorial.
- ¿Cuál es un ejemplo de un estado cuántico tripartito que es biseparable pero no completamente separable?
- ¿Cómo se forman los nuevos orbitales después de la superposición de los orbitales p en la conjugación?
- ¿Es capaz la electrodinámica cuántica de obtener constantes a un nivel de precisión más alto que otros campos de la física? Si es así, ¿por qué?
- ¿Podría el tiempo ser materia oscura? Si la gravedad deforma tanto la materia como el tiempo, ¿podría el tiempo afectar también a la gravedad como lo hace la materia?
- ¿Podemos decir que el principio de incertidumbre para Heisenberg representa un grado de libre albedrío de partículas diminutas, lo que significa que posee un grado débil de vida, y de esta vida simple y débil, se forma la vida compleja de otros seres?
Si el estado de dos partículas que interactúan no puede descomponerse en un producto de una función de onda de un espacio con el del otro espacio (es decir, el estado no es un producto tensorial), entonces se dice que el estado está “enredado”. Por lo tanto, el formalismo del producto tensor es útil cuando el enredo es importante (por ejemplo, en la teoría de la información cuántica)
Algunas matemáticas:
Para dos subsistemas [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] con espacios de Hilbert [matemática] H ^ N_A [/ matemática] y [matemática] H ^ M_B [/ matemática] con vectores de bases ortonómicas [matemática] ] i [/ math] y [math] j [/ math] de modo que
[matemáticas] \ psi_A = \ sum_ {i = 1} ^ N a_i | i \ rangle [/ matemáticas] y
[matemáticas] \ psi_B = \ sum_ {j = 1} ^ M b_j | j \ rangle [/ matemáticas]
El producto Tensor: [matemática] H ^ N_A \ otimes H ^ M_B [/ matemática]
es el espacio de Hilbert dimensional [matemático] NM [/ matemático] atravesado por los pares de vectores
[matemáticas] {| i \ rangle, | j \ rangle} [/ matemáticas] o [matemáticas] | i \ otimes j \ rangle [/ matemáticas]
donde [matemáticas] \ langle i ‘\ otimes j’ | i \ otimes j \ rangle = \ delta_ {i’i} \ delta_ {j’j} [/ math].
El producto tensor para funciones de onda:
[matemáticas] | \ psi_A \ otimes \ psi_B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N a_ib_j | i \ otimes j \ rangle [/ math]
y para dos operadores [math] O_A [/ math] y [math] O_B [/ math]:
[matemáticas] (O_A \ otimes O_B) | \ psi_A \ otimes \ psi_B \ rangle = | O_A \ psi_A \ otimes O_B \ psi_B \ rangle [/ math]
Nota sobre el enredo:
Se dice que un estado de dos partículas que no puede escribirse en la forma | \ psi_A \ otimes \ psi_B \ rangle (es decir, como producto de dos funciones de onda de dos espacios de Hilbert separados / un producto tensorial) está entrelazado.
Ejemplo:
Para 2 partículas que pueden estar en dos estados, por ejemplo, dos medias partículas de rotación, el producto tensor de los espacios de Hilbert es de 4 dimensiones.
El chico del cartel de los estados enredados es el Estado Bell.
Tomando el escenario concreto de dos medias partículas de rotación, el estado es [1]:
[matemáticas] \ phi_ {AB} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (B_1 + B_2) [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] B_1 = | – \ frac {1} {2} \ rangle_A \ otimes | + \ frac {1} {2} \ rangle_B [/ matemáticas]
y
[matemáticas] B_2 = | + \ frac {1} {2} \ rangle_A \ otimes | – \ frac {1} {2} \ rangle_B [/ matemáticas]
Como se puede demostrar que no se puede escribir como un producto tensorial
[matemáticas] | \ psi_A \ otimes \ psi_B \ rangle = | \ psi_A \ rangle | \ psi_B \ rangle [/ matemáticas]
para cualquier
[matemáticas] | \ psi_A \ rangle = a_1 | \ frac {1} {2} \ rangle_A + a_2 | – \ frac {1} {2} \ rangle_A [/ matemáticas]
y
[matemáticas] | \ psi_B \ rangle = b_1 | \ frac {1} {2} \ rangle_A + b_2 | – \ frac {1} {2} \ rangle_A [/ matemáticas]
[1] En realidad hay 4 de esos estados. Son los chicos del cartel de enredos porque están “enredados al máximo”. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Bel…
