Estás haciendo una pregunta muy profunda en física teórica que tiene que ver con la geometría de la cuantización. Pero antes de responder a su pregunta, solo quiero asegurarme de que estamos en la misma página. La respuesta que busco aquí estará orientada matemáticamente porque esta pregunta lo exige. Así que estoy asumiendo cierta familiaridad con las matemáticas de los múltiples y los espacios de Hilbert (pero incluso si no está familiarizado con estos conceptos, debería poder seguir las ideas clave). Además, no voy a hacer ninguna referencia a la teoría de la relatividad aquí por 2 razones. En primer lugar, porque las cosas se vuelven un poco más complicadas y, en segundo lugar, porque desvía la atención de los aspectos clave que intervienen en la respuesta a su pregunta.
Formulaciones canónicas estándar de mecánica clásica y cuántica.
Tienes razón, la Mecánica clásica generalmente se formula como una teoría geométrica. Más específicamente, el espacio de estados en la mecánica clásica (también llamado espacio de fase) se modela como una variedad [matemática] M [/ matemática] equipada con una estructura simpléctica [matemática] (M, \ omega) [/ matemática]. Si no sabes lo que eso significa, mira aquí. En realidad es muy simple, la variedad simpléctica es solo una variedad con una distinguida forma de 2 [matemáticas] (\ omega) [/ matemáticas]. Esta forma 2 es una función que come 2 campos vectoriales en el múltiple para devolver una función en el múltiple. Tiene 2 consecuencias importantes. En primer lugar, esta forma 2 le permite definir una función de volumen en el espacio de fase, que es muy importante al estudiar Mecánica Estadística. Y en segundo lugar, le permite definir el llamado Soporte de Poisson ([math] \ {, \} [/ math]) en el múltiple, que he descrito a continuación.
Recuerde que cada punto en el múltiple corresponde a un estado particular del sistema clásico. También tenga en cuenta que las funciones en la variedad son mapas suaves de la forma [matemática] f: M \ longrightarrow \ R. [/ Matemática] A esto se refieren los físicos como “los observables de un sistema clásico”. En otras palabras, los observables del sistema clásico asignan cada estado a un número real. El conjunto de todas estas funciones puede transformarse en un álgebra si definimos la siguiente operación de multiplicación:
[matemáticas] f * g (m) = f (m) g (m) \ \ \ forall m \ en M [/ matemáticas]
Esta es una operación puntual que significa que, por definición, es conmutativa ([matemática] f * g = g * f [/ matemática]). Es por eso que los observables en la mecánica clásica conmutan porque se definen como funciones en la variedad (también puede definir la suma puntual y la multiplicación escalar en una forma similar).
El soporte de Poisson en mecánica clásica es una función que come 2 funciones / observables en el múltiple [math] (f, g) [/ math] y devuelve otra función dada por [math] \ {f, g \} [/ math ] Satisface un conjunto de propiedades, pero el punto clave es que el Bracket de Poisson se define en términos de la forma simpléctica 2, por lo que no es una estructura independiente. Hay una función particularmente importante en el espacio de fase que se llama función hamiltoniana. Esta es la energía observable del sistema clásico.
En la mecánica cuántica, el espacio de estados está modelado por un espacio de Hilbert [matemático] H [/ matemático] y para nuestros propósitos podemos pensar en los vectores normalizados en el espacio de Hilbert como los estados físicos de un sistema mecánico cuántico.
Por supuesto, la principal diferencia entre esta formulación de estados y la formulación de la Mecánica clásica es que, aquí, el espacio de estados es un espacio vectorial, por lo que puede tener combinaciones lineales de estados. Esto no es posible en una estructura múltiple. Así que siempre estás en un estado donde ciertos observables no están bien definidos. Esto se debe a que, por ejemplo, los estados de posición definida y los estados de momento definido son mutuamente disjuntos.
En la mecánica cuántica, los observables son los mapas lineales autoadjuntos o hermitianos en el espacio de Hilbert [matemáticas] A: H \ longrightarrow H [/ matemáticas]. Los observables en la Mecánica Cuántica también forman un álgebra, pero este es un álgebra no conmutativa (en realidad no es conmutativa [matemática] C ^ {*} [/ matemática] álgebra) donde el conmutador entre 2 observables es dado por [matemática ] [A, B] = AB-BA [/ matemáticas]. La Mecánica Cuántica también tiene un Hamiltoniano / energía observable.
Formulación algebraica de la mecánica clásica.
Es un resultado estándar en la geometría algebraica que la geometría real (como el múltiple real en Mecánica clásica) está completamente determinada por su álgebra de funciones reales valoradas (esto no es del todo cierto en general, pero es cierto para los múltiples lisos).
Así, por ejemplo, 2 colectores lisos son idénticos (difeomorfos) si y solo si su álgebra de funciones continuas valoradas son idénticas (isomorfas).
Esto tiene una interpretación física muy clara. Recuerde que los múltiples modelos del sistema físico y las funciones son los observables. Entonces, la declaración anterior se traduce como ” si no puede medir la diferencia entre 2 sistemas, no hay razón para tratarlos como diferentes “.
Por lo tanto, puede ignorar por completo los fundamentos geométricos de la mecánica clásica y solo hablar sobre su álgebra de observables. Esto le dará una descripción completamente algebraica de la mecánica clásica que es extremadamente útil en muchas situaciones.
Ahora, antes de hablar sobre Geometría, déjenme darles una breve idea de cómo el álgebra de la Mecánica Cuántica se reduce al álgebra de la Mecánica Clásica si desechamos información de grano fino.
Suponga que el conmutador entre 2 observables de mecánica cuántica es un número muy pequeño y démosle a este elemento central un símbolo divertido [matemáticas] \ hbar [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] [x, y] = \ hbar [/ matemáticas]. Si [math] \ hbar [/ math] realmente es un número pequeño, deberíamos poder retener la estructura básica del álgebra si desechamos información de grano fino relacionada con él. Esto se puede hacer tomando el Cociente [matemática] A / \ hbar A [/ matemática] (donde [matemática] A [/ matemática] es el Álgebra de QM observables). Este cociente debería eliminar la no conmutatividad del álgebra y al mismo tiempo preservar su estructura básica. Entonces esperamos que [math] A / \ hbar A [/ math] forme un álgebra conmutativa (y lo hace).
Ahora, como sabemos que [math] \ hbar [/ math] divide [math] [x, y] [/ math], defina un elemento [math] \ {x, y \} = \ hbar ^ {- 1} [x , y] [/ matemáticas]
Observe que estamos dividiendo un número pequeño por un número pequeño, por lo que esto [matemáticas] \ {x, y \} [/ matemáticas] no necesita ser tan pequeño.
Resulta que este es precisamente el soporte de Poisson que definimos anteriormente. Entonces el cociente del álgebra de mecánica cuántica forma naturalmente un álgebra de Poisson que es el álgebra de la mecánica clásica. Este es un resultado notable en mi opinión. El álgebra de la mecánica clásica se produce naturalmente al tirar los bits cuantificados de grano fino de álgebra mecánica cuántica. La cuantización desde una perspectiva algebraica es justo lo contrario de este cociente.
Formulaciones geométricas de la mecánica cuántica.
Ciertamente existen (varias) formulaciones geométricas diferenciales de la Mecánica Cuántica, pero no es posible construir la Mecánica Cuántica en un Colector de la misma manera que en la Mecánica Clásica. Tenemos que usar estructuras superiores en forma de paquetes. Esto se debe a que las funciones suaves en una variedad siempre forman un álgebra conmutativa (porque están definidas puntualmente) mientras que los observables de la mecánica cuántica no forman un álgebra conmutativa. Por lo tanto, es una tarea desesperada tratar de pensar en los observables en la Mecánica Cuántica como funciones suaves en alguna variedad.
Pero aún es posible comprender la mecánica cuántica en términos geométricos y, de hecho, de muchas maneras, esto le brinda una comprensión más rica y perspicaz de la mecánica cuántica. La teoría de los paquetes juega un papel central en hacer esto. Los paquetes son una forma de hablar rigurosamente sobre los campos en una variedad. Siempre encuentro fotos de este tipo bastante útiles.
Intuitivamente, puede pensar en los paquetes como un procedimiento para unir estructuras en cada punto de una variedad. Por ejemplo, en la imagen, el múltiple es el toro y estamos ampliando una región en particular en el toro y adjuntando una línea real a cada punto de esta región. Esto se llama un paquete de línea real.
El punto de hacer esto es que ahora puede definir un campo escalar (real) en el múltiple que asigna suavemente a cada punto del múltiple un número real de la línea real que se ha adjuntado en ese punto en particular.
Bueno, en realidad aquí la estructura del paquete es un poco exagerada porque un campo escalar real para la mayoría de las intenciones y propósitos es solo una función suave en el múltiple, pero en realidad hay diferencias sutiles que se vuelven importantes si el múltiple es curvo.
De manera similar, en cada punto del múltiple, puede adjuntar el conjunto de todos los vectores tangentes posibles a las curvas en ese punto (desde el punto de vista de la física, estos son los conjuntos de todas las velocidades posibles de una partícula que se mueve en el múltiple). Este es el llamado paquete tangente que es una de las construcciones centrales en geometría diferencial y física. Por ejemplo, el lagrangiano es en realidad una función en el paquete tangente, el tensor métrico en Relatividad Especial / General es en realidad una métrica en el paquete tangente. Una vez más, el punto de hacer esto es para que ahora podamos asignar suavemente a cada punto en el múltiple un vector de velocidad desde el espacio tangente en ese punto en particular. Esto es lo que se llama un campo vectorial.
De manera similar, el paquete que une a cada punto una forma 1 se llama paquete cotangente (que corresponde al espacio de posición-momento o espacio de fase en la mecánica clásica). Prácticamente toda la física moderna está formulada en términos de paquetes, por lo que esta es una idea muy importante.
De todos modos, volviendo al Espacio de Fase Clásico, suponga que adjunta en cada punto del espacio de fase clásico una línea compleja (se llama paquete de línea Hermitian [matemática] L [/ matemática]). Piense de nuevo en términos del Toro donde adjuntamos una línea real en cada punto.
Ahora toda esta estructura (del toro y las líneas complejas adjuntas) se llama paquete de líneas pre-cuánticas. Recuerde que el Torus es el espacio de fase clásico y solo estamos imponiendo más estructura encima.
El conjunto de líneas prequantum en sí es un múltiple que lleva una derivada covariante canónica. Esta es la conexión [matemática] U (1) [/ matemática]. Esto le permite hablar sobre la curvatura de este múltiple más grande. La razón por la que esto solo funciona para una variedad simpléctica es porque la curvatura de esta derivada covariante canónica es solo [math] i \ omega [/ math], donde [math] \ omega [/ math] es la forma simpléctica 2 de la que hablamos más temprano. Pero tenga en cuenta que no todos los múltiples simplécticos se pueden cuantificar previamente de esta manera.
Recuerde que la mecánica cuántica está formulada en un espacio de Hilbert y nuestro objetivo es comprender la geometría de dónde proviene este espacio de Hilbert. Bueno, una posibilidad es si definimos campos escalares en el múltiple simpléctico que asignan a cada punto del múltiple un elemento del conjunto de líneas complejas ([math] \ psi: M \ longrightarrow L [/ math]). Es por eso que presentamos el paquete de líneas complejas en primer lugar. Ahora, si miramos todos esos campos escalares que son integrables al cuadrado (es decir, si integramos el módulo al cuadrado sobre el múltiple no obtenemos infinito, entonces es una restricción de normalización), entonces el conjunto de todos estos campos escalares forma un espacio de Hilbert llamado el espacio pre-cuántico de Hilbert. Estos campos escalares son (aproximadamente) lo que tradicionalmente llamamos funciones de onda en la mecánica cuántica. En realidad, ni siquiera son funciones, son campos escalares en un conjunto de líneas complejas.
Ya casi somos de ellos. El único problema es que este espacio de Hilbert resulta ser demasiado grande, por lo que en realidad tenemos que elegir la polarización que reduce el espacio de Hilbert pre-cuántico al espacio de Hilbert mecánico cuántico que conocemos. Esta elección de polarización es en realidad algo muy sutil, así que no entremos en este momento.
He pasado por alto muchas sutilezas aquí, pero todo esto tenía la intención de proporcionar un bosquejo muy aproximado de cómo interpretar la geometría de la Mecánica Cuántica. El Quantum Mechanical Hilbert Space es parte de una enorme construcción en la parte superior del Classical Phase Space. Y ahora puede comprender que el mapa de cuantificación canónica de llevar los Brackets de Poisson a los conmutadores es en realidad una forma de elevar los datos de forma diferencial a los datos del paquete de líneas. Este es de nuevo un resultado bastante notable al que acabamos de llegar. La mecánica cuántica fue, por supuesto, históricamente motivada por experimentos, pero desde una perspectiva completamente matemática, surge como una elegante generalización de la geometría de la mecánica clásica.
Si solo está interesado en hacer cálculos para sistemas Quantum, entonces nada de esto es realmente relevante porque nada de esto le ayuda a realizar mejores cálculos. Pero sí te da una visión profunda de la estructura de la Mecánica Cuántica, que te dice mucho sobre la estructura del mundo físico. Además, cuando comienzas a hacer Mecánica Cuántica en espacios curvos, tienes que pensar en estos términos. Te encontrarás con una pared si ignoras ingenuamente la geometría que sustenta la Mecánica Cuántica.
La historia de los enfoques geométricos de la mecánica cuántica en realidad se remonta a Von Neumann, que ya había entendido la mayoría de las ideas clave que he presentado anteriormente. Y creo que la teoría de la cuantización geométrica realmente despegó a principios de los años 60. También tiene otros desarrollos fascinantes al mismo tiempo, como la cuantización de la deformación, que también intentan proporcionar una comprensión alternativa del procedimiento de cuantización.
Solo quiero mencionar un pensamiento más, que es la motivación para estudiar este paquete de líneas previas. Bueno, lo creas o no, en realidad vino completamente de la mecánica clásica. Sabemos que las funciones en el espacio de fase de un sistema clásico forman un álgebra de mentiras (siendo el soporte de Lie el soporte de Poisson). Una pregunta simple que surge es ¿cuál es el grupo de mentiras asociado a este álgebra de mentiras? Y la respuesta resulta ser sorprendentemente simple. Es el llamado grupo Quantomorphism que conduce sin problemas a la descripción de la mecánica cuántica que he presentado anteriormente. Puede encontrar una respuesta más detallada aquí:
La respuesta de Akash Vijay a ¿En qué se diferencia el soporte de Poisson de un conmutador?
Y, por cierto, si realmente piensas en ello, apenas he aludido a ninguna matemática avanzada aquí. Acabo de usar algunas ideas centrales de la geometría (múltiples, paquetes, derivadas covariantes) y algunas otras de Álgebra. Esto es menos de lo que se necesita para comprender completamente la Relatividad General. Todo esto debe ser accesible para un estudiante universitario avanzado. Con solo un poco de geometría y álgebra, puede obtener una comprensión profunda de la relación entre estas 2 descripciones físicas diferentes.
Geometría de las teorías de campo
Creo que vale la pena mencionar cómo la geometría juega un papel en las teorías de campo cuántico. Bueno, prácticamente toda la física moderna opera sobre bases geométricas y eso incluye todas las teorías de campo conocidas, como el modelo estándar de física de partículas. Sin embargo, ya no pensamos en términos de espacios de fase porque los campos tienen incontables grados infinitos de libertad y nadie sabe cómo dar sentido a múltiples dimensiones infinitamente incontables. En su lugar, intentamos usar el enfoque Relativista General de comenzar con una variedad de espacio-tiempo y luego interpretar toda la dinámica como una especie de interacción entre las estructuras de orden superior.
En la mecánica clásica, pensamos en los campos como funciones en la variedad espacio-tiempo (generalmente se introducen como cantidades físicas que dependen de la posición y el tiempo), pero este enfoque no va demasiado lejos en la teoría cuántica de campos. En cambio, volvemos y pensamos una vez más en términos de paquetes de vectores.
Las simetrías juegan un papel central en la determinación de la estructura de un campo cuántico. Estas simetrías se modelan matemáticamente como grupos de mentiras, particularmente grupos de indicadores (por eso los campos en QFT a menudo se denominan campos de indicadores). Esencialmente, estamos interesados en los campos que son invariables bajo la acción de este grupo de simetría.
Más precisamente, una teoría con un grupo de indicadores [matemática] G [/ matemática] puede formalizarse considerando un paquete principal [matemática] [[matemática] sobre el espacio-tiempo. El campo de indicador ahora corresponde a las conexiones principales en tales paquetes. Entonces, la fuerza de este campo es solo la curvatura de este paquete. Observe la similitud con la Relatividad general, donde la intensidad del campo gravitacional es la curvatura del espacio-tiempo.
Esta idea de formular campos como conexiones principales es el núcleo de todas las teorías de campo modernas, desde el modelo estándar de física de partículas hasta la teoría de cuerdas. Por supuesto, para realizar cualquier tipo de cálculo preciso, solo consideramos las formas locales [matemáticas] A ^ {\ mu} _ {\ nu} [/ matemáticas] pero globalmente todos los campos son conexiones en paquetes principales. Este es el legado de la teoría de campo de Yang-Mills.
Así que esta fue una breve descripción de la geometría de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. De ninguna manera es exhaustivo, de hecho, apenas he pasado por alto la superficie de uno de los campos más ricos en física teórica y matemática de la actualidad. Pero espero que esta respuesta al menos arroje algo de conocimiento sobre las estructuras de la mecánica clásica y la mecánica cuántica y cómo están relacionadas y cómo el mismo enfoque se aplica a las teorías de campo. La física generalmente siempre se formula en términos de espacios geométricos, pero para realizar cálculos, puede ser útil reestructurar estas ideas geométricas en lenguaje algebraico.
Para aquellos de ustedes que puedan estar interesados, la mayor parte de lo que he escrito aquí se ha basado en 2 libros: Gauge Fields, Nudos y gravedad de John Baez y Geometría de la física de Theodore Frankel
