Supongamos que somos ingenieros de cohetes, hemos desarrollado un cohete pero no estamos seguros de si volará, así que nos hacemos esta pregunta; ¿Qué tan alto irá mi cohete?
Las ecuaciones
Hay tres ecuaciones básicas para encontrar la altitud máxima de tu cohete
- ¿Hay alguna manera de usar las matemáticas para convertirte en un mejor guitarrista?
- ¿Puedes derivar nuevas teorías en física solo mirando las matemáticas? Ejemplos de estado por favor.
- ¿Cuál es el problema con la optimización de la base de datos?
- ¿Qué puedes hacer con un título en matemáticas?
- Cómo calcular [matemáticas] 10 ^ 1 + 9 ^ 2 + 8 ^ 3 + 7 ^ 4 +… + 2 ^ {9} + 1 ^ {10} [/ matemáticas]
- Velocidad máxima v, la velocidad al agotamiento = q * [1-exp (-x * t)] / [1 + exp (-x * t)]
- Altitud alcanzada al final del refuerzo = [-M / (2 * k)] * ln ([T – M * g – k * v ^ 2] / [T – M * g])
- Altura adicional alcanzada durante la costa = [+ M / (2 * k)] * ln ([M * g + k * v ^ 2] / [M * g])
Todos los términos extraños en estas ecuaciones se explican en la siguiente sección sobre el método para usar las ecuaciones.
El método
PRIMERO:
Calcular algunos términos útiles
- Encuentra la masa M de tu cohete en kilogramos (kg):
M = (peso en onzas) /16/2.2 - Encuentra el área A de tu cohete en metros cuadrados (m ^ 2):
A = pi * (0.5 * (diámetro en pulgadas / 12) * 0.3048) ^ 2 = pi * r ^ 2
donde r es el radio en metros - Tenga en cuenta que la fuerza de resistencia al viento = 0.5 * rho * Cd * A * v ^ 2, donde
rho es la densidad del aire = 1.2 kg / m ^ 3
Cd es el coeficiente de arrastre de su cohete que es de alrededor de 0.75 para un modelo de cohete; para obtener un informe NAR realmente excelente sobre valores de Cd, haga clic aquí
v es la velocidad del cohete. Sin embargo, no calcula esta fuerza de arrastre, ya que todavía no sabe qué es “v”. Lo que necesita es agrupar los factores de resistencia al viento en un coeficiente k:
k = 0.5 * rho * Cd * A = 0.5 * 1.2 * 0.75 * A - Encuentre el impulso I y empuje T (gran T) del motor para su cohete desde el designador del motor, para obtener una explicación, puede consultar la codificación del motor de cohete de NAR, la página de seguridad de cohetes modelo NAR, que proporciona el impulso nominal para cada categoría, y la página WWW Dimensión del modelo de motor de cohete que le proporciona la clasificación real para motores específicos.
- Calcule el tiempo de combustión t (pequeña t) o el motor dividiendo el impulso I por el empuje T:
t = I / T - Tenga en cuenta también: la fuerza gravitacional es igual a M * g, o la masa del cohete multiplicada por la aceleración de la gravedad (g). El valor de g es una constante, igual a 9.8 metros / seg / seg. Esta fuerza es la misma que el peso del cohete en newtons, y el término M * g aparece mucho en las siguientes ecuaciones.
SEGUNDO:
Calcule un par de mis términos (para simplificar las próximas ecuaciones). En ausencia de algo más colorido los llamo “q” y “x”
- q = sqrt ([T – M * g] / k)
- x = 2 * k * q / M
TERCERO:
Estás listo para comenzar: calcula la velocidad al agotamiento (velocidad máxima, v), aumenta la distancia de fase yb y la distancia de fase costera yc (sumarás estos dos últimos para la altitud total). Tenga en cuenta que “g” es la aceleración de la gravedad en unidades métricas = 9.8.
- v = q * [1-exp (-x * t)] / [1 + exp (-x * t)]
- yb = [-M / (2 * k)] * ln ([T – M * g – k * v ^ 2] / [T – M * g])
- yc = [+ M / (2 * k)] * ln ([M * g + k * v ^ 2] / [M * g])
Y LA ALTITUD TOTAL ES … yb + yc
¿Puedo ver un ejemplo simple?
Seguro. Usemos un Estes Alpha III, para mantenerlo básico:
- Peso: 1.2 onzas vacías. Agregaré 0.7 onzas para el motor.
- Diámetro: 0.976 pulgadas
- Motor: C6-7 (usaremos uno grande para este cohete)
Tenga en cuenta que la página WWW Motor Dimension nos dice que el motor Estes tiene una “calificación” del 90%; verá lo que eso significa en un momento.
Ahora sigamos las ecuaciones anteriores y veamos qué obtenemos:
- Calcule los términos útiles
- Masa del cohete M = (peso en onzas) /16/2.2 = (1.2 + 0.7) / 16 / 2.2 = 0.05398 kg
- Área del cohete: A = pi * r ^ 2 = 3.14 * (0.5 * 0.976 / 12 * 0.3048) ^ 2 = 0.000483 m ^ 2
- Calcule el factor de resistencia al viento: k = 0.5 * rho * Cd * A = 0.5 * 1.2 * 0.75 * 0.000483 = 0.000217
- Un motor C6 tiene un impulso nominal de 10 Ns y un empuje de 6 N. La “clasificación” mencionada anteriormente se aplica al impulso, dándonos un impulso real para un Estes C6 de 10 * 90% = 9 Ns.
- Calcule el tiempo de grabación t = I / T = 9/6 = 1.5 seg.
- La fuerza gravitacional = M * 9.8 = 0.05398 * 9.8 = 0.529 newton
2 Calcular mis términos
- q = sqrt ([T – M * g] / k) = sqrt ([6 – 0.05398 * 9.8] / 0.000217) = 158.8
- x = 2 * k * q / M = 2 * 0.000217 * 158.8 / 0.05398 = 1.277
3. Ahora lo bueno:
- v = q * [1-exp (-x * t)] / [1 + exp (-x * t)]
= 158.8 * [1-exp (-1.277 * 1.5)] / [1 + exp (-1.277 * 1.5)] = 118.0 m / s
Si este número no significa nada para usted, multiplíquelo por 2.237 para obtener la velocidad al agotamiento en mph: 118.0 * 2.237 = 264.0 mph. ¡Y no obtendrás un boleto! - yb = [-M / (2 * k)] * ln ([T – M * g – k * v ^ 2] / [T – M * g])
= [-0.05398 / (2 * 0.000217)] * ln ([6 – 0.05398 * 9.8 – 0.000217 * 118.0 ^ 2] / [6 – 0.05398 * 9.8]) = 99.95 m
recuerda que esta es la altura alcanzada durante el impulso. Multiplique por 3.3 para obtenerlo en pies: 99.95 * 3.3 = 329.8 pies. - yc = [+ M / (2 * k)] * ln ([M * g + k * v ^ 2] / [M * g])
= [+0.05398 / (2 * 0.000217)] * ln ([0.05398 * 9.8 + 0.000217 * 118.0 ^ 2] / [0.05398 * 9.8])
= 236.8 m = 781.4 pies.
Aviso: ¡el cohete va más del doble después de la quemadura que durante la quemadura!
Y LA ALTITUD TOTAL ES … yb + yc = 329.8 + 781.4 = 1,111 pies
¿Qué podría salir mal?
Bien, preguntaste. Dos cosas causarán una diferencia entre su cálculo y el destino real de su cohete. En primer lugar , las ecuaciones pueden ser precisas, ¡pero los ROCKETS NO LO SON! Un cohete variará en su rendimiento por tres razones principales:
- El empuje del motor del cohete puede variar en un 10% de cualquier manera, esto puede hacer una gran diferencia
- El coeficiente de arrastre real de su cohete depende en gran medida de cómo lo construyó: la forma de las aletas y la nariz, las orejetas de lanzamiento que utilizó, el trabajo de pintura, etc.
- la estabilidad de tu cohete: si vuela divertido, vuela bajo.
En segundo lugar , las ecuaciones hacen algunas aproximaciones. Los he minimizado lo más posible, como verán. Las tres aproximaciones más grandes son
- densidad de aire constante: a medida que asciende, el aire se vuelve más delgado, aproximadamente un 10% por cada 1000 metros. En otras palabras, esto no es una gran preocupación hasta unos 3,000 pies, después de eso comienza a afectar la precisión. Para los cohetes modelo, no se preocupe, para los vuelos de alta potencia que van a cinco o seis mil pies (o más), obtenga una estimación aproximada utilizando estas ecuaciones con una densidad de aire promedio y verifique con una simulación.
- empuje constante del motor: en realidad, el empuje del motor varía durante la combustión, pero hemos utilizado un valor promedio constante. Comparé simulaciones usando el empuje constante y usando la curva de empuje real del motor y el efecto en los cálculos de altitud máxima es insignificante. El impulso total que utiliza para el motor tiene un efecto mucho mayor que variar el empuje.
- peso motor constante: en realidad, la masa del motor cambia porque está quemando el propulsor. La forma en que manejas la masa del cohete es importante para obtener resultados precisos.
Cómo manejar la masa de cohetes
En el ejemplo anterior, agité a mano el valor que uso para la masa motora, pero en realidad soy muy deliberado sobre el valor que elijo. A medida que su cohete quema combustible, la masa del cohete cambia. Estimo la masa del cohete durante la fase de impulso agregando
- el peso vacío del cohete
- el peso de la carcasa del motor vacía, y
- la mitad del peso del propelente
Durante la fase de costa utilizo
- el peso vacío del cohete, y
- el peso de la carcasa del motor vacía
- ESO ES, ya que el propulsor se ha quemado en este punto.
El peso en vacío del cohete se le entrega como parte de sus especificaciones. También puede obtener los números de masa de motor y masa de propulsor de los catálogos que tiene el catálogo de Aerotech, por ejemplo) o puede estimarlos de la siguiente manera:
Para una estimación rápida de motores de alta potencia (AP) en el campo, tengo un truco genial: la masa del motor completamente cargada en gramos es aproximadamente la misma que el impulso del motor en Newton-segundos. El peso del propulsor es aproximadamente la mitad del peso del motor cargado. Para Blackjacks agregue 100 gramos.
Para las carcasas de motor de polvo negro (Estes), utilizo un valor aproximado de 0.5 onzas. Creo que es lo suficientemente bueno.
En general, para encontrar el peso del propulsor, utilizo una ecuación de cohetes que establece que el impulso del motor en Newton-segundos es igual a la masa del propulsor multiplicada por la velocidad de escape, o
I = M * Vex
Entonces, la masa del propelente, en kilogramos, es el impulso dividido por la velocidad de escape, para la cual 800 m / s es un buen número para un motor común de polvo negro. (Si va a usar alta potencia y usa compuestos, use Vex = 2000 m / s). Entonces, para obtener la masa de propelente, simplemente divida el impulso por 800, lo que le da en kg. Multiplique este número por 35.27 para obtener el peso del propulsor en onzas. Por supuesto, la manera fácil es obtener los números del catálogo.
Recuerde, ya que está quemando el propelente durante la fase de refuerzo, use la mitad de la masa calculada del propelente como valor promedio.
Nota: si ha leído algo sobre física de cohetes, simplemente conectar un valor promedio para la masa del cohete debería parecer una idea horrible. La ecuación del cohete se calcula calculando exactamente el efecto de esta masa cambiante. Podemos evitar el uso de una simplificación porque nuestros cohetes modelo solo tienen una masa propulsora del 10-40% del peso de la carga útil. Por el contrario, el propulsor para el transbordador espacial es 25 veces el peso de la carga útil, y la masa cambiante no puede ser aproximada por un valor promedio.
Para los cohetes modelo típicos, esta aproximación conduce a un error de menos del uno por ciento y nos permite usar una expresión que explica la resistencia al viento, un factor mucho más importante. De hecho, ese es el secreto de la precisión de estas ecuaciones.
¿Cuánto tiempo llevará llegar tan alto?
Oh, sí, ese es un cálculo fácil ahora. El tiempo desde el agotamiento hasta el apogeo (punto alto) lo llamaremos ta. Para encontrarlo solo calcule:
- qa = sqrt (M * g / k)
- qb = sqrt (g * k / M)
- ta = arctan (v / qa) / qb ()
Entonces, en nuestro ejemplo anterior, donde M = 0.05398, k = 0.000217 yv = 118 m / s (al agotamiento) entonces
- qa = sqrt (0.05398 * 9.8 / 0.000217) = 49.35
- qb = sqrt (9.8 * 0.000217 / 0.05398) = 0.1986
- ta = arctan (118 / 49.35) / 0.1986 = 5.915 segundos
Nota: deberías encontrar arctan en radianes.
Este es el tiempo desde el agotamiento hasta el apogeo y debe correlacionarse estrechamente con el tiempo de retraso en la carga de expulsión de su motor. Para el tiempo total de lanzamiento al apogeo, agregue el tiempo de grabación ty ta. El tiempo de grabación que encontramos arriba fue t = 1.5 segundos, por lo que el tiempo total en nuestro ejemplo es
t + ta = 1.5 + 5.915 = 7.415 segundos.
BÁSICAMENTE, ESO SE ESTÁN UTILIZANDO LAS MATEMÁTICAS EN TODO
