Primero, demos un paso atrás y exploremos la idea detrás de la continuación analítica:
Digamos que tiene algunos datos, por ejemplo, la altura de un cohete después de x segundos. Puede enfrentarse con la siguiente tarea:
Después de 100 segundos, la altura de un cohete es de 2.00 km. Estima la altura del cohete después de 101 segundos.
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Bueno, nadie nos dijo aún, que el cohete estaba en el suelo en el momento 0, o si el cohete está subiendo o bajando, por lo que tal vez la mejor oportunidad (para minimizar el error) es adivinar, que el cohete también está en 2.00 km de altitud después de 101 segundos. Esto probablemente sea incorrecto ya que los cohetes tienden a subir o bajar (variando su altura), pero podríamos estar más lejos adivinando un valor más alto, en caso de que el cohete realmente caiga y viceversa. Entonces, explotar los datos, esta es realmente la mejor suposición (minimización de errores) que podemos hacer.
Esto corresponde a la siguiente ecuación: [matemática] f (x + a) \ aprox. F (x) [/ matemática], donde [matemática] f [/ matemática] es la altura, [matemática] x [/ matemática] es 100 segundos y [matemáticas] a [/ matemáticas] es un segundo.
Ahora cambiemos la tarea a lo siguiente:
Después de 100 segundos, la altura de un cohete es de 2.00 km y su velocidad hacia arriba es de 0.1 km por segundo. Estima la altura del cohete después de 101 segundos.
¡Ajá! Así que ahora sabemos que el cohete sube y que lo hace bastante rápido. Entonces queda claro de inmediato que debemos suponer que el cohete mantiene su velocidad (lo más probable es que esto sea incorrecto) y en ese segundo adicional probablemente viaja 0.1 km hacia arriba. No sabemos si el cohete está acelerando o desacelerando actualmente, por lo que adivinar más o menos que este valor nuevamente probablemente arrojaría un error mayor. Entonces concluimos que debemos adivinar la altura del cohete como 2.1 km, es decir, la altura actual más una corrección de la velocidad actual.
Esto corresponde ahora a: [matemáticas] f (x + a) \ aprox. F (x) + a \ cdot f ‘(x) [/ matemáticas], donde [matemáticas] f’ [/ matemáticas] es la velocidad ahora.
Vamos a refinar la tarea nuevamente:
Después de 100 segundos, la altura de un cohete es de 2.00 km, su velocidad hacia arriba es de 0.1 km por segundo y su velocidad aumenta actualmente en 0.1 km por segundo cada segundo. Estima la altura del cohete después de 101 segundos.
Mediante el mismo proceso de adivinanzas que antes, se obtiene una estimación de 2,15 km. No entraré en detalles sobre las matemáticas involucradas, ya que no es importante para entender lo que está sucediendo. Esto corresponde ahora a [matemáticas] f (x + a) \ aprox. F (x) + af ‘(x) + \ frac {a ^ 2 \ cdot f’ ‘(x)} 2 [/ matemáticas], donde [matemáticas ] f ” [/ math] es la aceleración. El cuadrado y el factor [matemática] \ frac 12 [/ matemática] aparecen naturalmente cuando haces las matemáticas. Pero como dije, no es importante.
Iterando este proceso, uno concluye, que uno debería adivinar:
[matemáticas] f (x + a) \ aprox \ sum_ {n = 0} ^ N \ frac {a ^ nf ^ {n} (x)} {n!} [/ matemáticas], donde [matemáticas] f ^ n [/ math] es la derivada [math] n [/ math] -th de [math] f [/ math].
Pero como probablemente sepa que a los matemáticos les gusta mucho el infinito, tomemos todas las derivadas de [matemáticas] f [/ matemáticas] en lugar de solo las primeras [matemáticas] N [/ matemáticas].
Suponiendo que la convergencia se puede escribir la estimación como:
[matemáticas] \ [/ matemáticas] [matemáticas] f (x + a) \ aprox \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {a ^ nf ^ {n} (x)} {n!} [/ matemáticas ]
Siempre que esta aproximación sea exacta (puede reemplazar [matemática] \ aprox [/ matemática] por [matemática] = [/ matemática]) se llama a la función [matemática] f [/ matemática] analítica. Este es el caso de casi todo lo que sabe, por ejemplo, para [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática], [matemática] x = 1 [/ matemática] un cálculo directo produce:
[matemáticas] f (1 + a) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {a ^ nf ^ {n} (1)} {n!} = 1 + 2a + a ^ 2 + 0 + 0 + \ cdots = (1 + a) ^ 2 [/ math]
Eso significa que para las funciones analíticas es suficiente conocer cada derivada en un punto [matemática] x [/ matemática] para conocer su valor para [matemática] (x + a) [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemáticas] es cualquier otro número. Y el valor es, por supuesto, único.
Sin embargo, esto solo funciona si la suma inflada converge. Por ejemplo, podemos obtener una serie para [math] log (1 + a) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} na ^ n [/ math] que converge solo para [matemáticas] -1 <a <1 [/ matemáticas].
¿Eso significa que [math] \ log (2.5) [/ math] no existe? ¡No! De hecho, podemos calcular [matemáticas] \ log (1.5) = \ log (1 + 0.5) [/ matemáticas] con la fórmula anterior ([matemáticas] a = 0.5 [/ matemáticas]) y crear una nueva serie para [matemáticas] \ log (1.5+ \ tilde a) [/ math]. (Es un poco más feo, por lo que no lo mostraré. El punto es que funciona igual que antes). La nueva serie converge ahora para [matemáticas] -1.5 <\ tilde a <1.5 [/ matemáticas] y por lo tanto, podemos calcular el valor [math] \ log (2.5) = \ log (1.5+ \ tilde a) [/ math], con [math] \ tilde a = 1 [/ math].
¿Que pasó? Bueno, analíticamente continuamos la serie [math] log (1 + a) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} na ^ n [/ math] a un dominio fuera [matemáticas] -1 <a <1 [/ matemáticas]. El truco fue que cambiamos nuestra [matemática] x [/ matemática] de la serie de 1 a 1.5 y luego obtuvimos un valor finito para [matemática] \ log 2.5 [/ matemática].
Al distinguir cuidadosamente las diferentes funciones, podemos obtener un poco más de claridad:
[math] \ log (1 + a) [/ math] se define para cada [math] -1 <a [/ math]. Pero la serie [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n + 1}} na ^ n [/ matemática] solo se define para [matemática] -1 <a <1 [/matemáticas]. Sin embargo, cuando [matemáticas] -1 <a <1 [/ matemáticas], las dos funciones son idénticas. Pero todavía no tiene sentido calcular la serie para un valor mayor que 1.
Exactamente lo mismo funciona con la función Riemann Zeta. Tenemos una representación de la función Zeta que existe para [math] s> 1 [/ math], es decir [math] \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ {- s} [ /matemáticas]. Eso significa que, siempre que [math] s> 1 [/ math], las dos funciones dadas por [math] \ zeta (s) [/ math] y [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ { -s} [/ math] son idénticos. También se puede calcular [math] \ zeta (-1) [/ math] mediante el proceso de continuación analítica si solo se conoce esta representación de [math] \ zeta [/ math]. Esto es en principio como arriba. (Mediante este proceso, puede obtener un valor para cada [matemática] s [/ matemática] excepto [matemática] 1 [/ matemática]). La suma [matemáticas] \ zeta (-1) ” = ” \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n [/ matemáticas] todavía no tiene sentido en ningún sentido ahora.
Volvamos, desde donde comenzamos. Imagina que tienes un cohete con altura [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ {- s} – \ frac {1} {s-1} [/ matemática] después de [matemática] s [/ matemática] segundos, siempre que [matemática] s> 1 [/ matemática]. La resta de [math] \ frac {1} {1-s} [/ math] tiene razones técnicas, no se preocupe, la agregaremos nuevamente más tarde. Adivina un valor para la altura del cohete después de -1 segundos. Podemos proceder calculando todos los derivados y obteniendo una serie, que converge para cualquier valor de [math] s [/ math]. Además, esta serie es igual a [math] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty n ^ {- s} – \ frac {1} {s-1} [/ math] if [math] s> 1 [/ math ] Al poner [math] -1 [/ math] en la serie, obtenemos un valor de [math] \ frac {-1} {12} + \ frac {1} {2} [/ math]. Agregar el valor de [math] \ frac {1} {s-1} [/ math] nuevamente produce un valor final de [math] \ frac {-1} {12} [/ math].
Y esto es todo lo que sucedió.
