David Thouless, Duncan Haldane y Michael Kosterlitz recibieron el Premio Nobel de Física 2016 por su trabajo en estados exóticos de la materia. Se inspiraron en la observación de que algunos materiales tienen propiedades eléctricas inusuales, y sus investigaciones los llevaron a la topología. Esa es la rama de las matemáticas relacionada con las propiedades de los objetos geométricos que no cambian cuando se dobla o estira (aunque rasgar sería una historia diferente). Como no hay un Premio Nobel de matemáticas, la comunidad de topología está comprensiblemente emocionada por este reconocimiento de la utilidad de nuestra disciplina.
La vieja opinión es que un topólogo es un matemático que no puede distinguir la diferencia entre una dona y una taza de café. (Este chiste se está volviendo agotador, pero de todos modos nos quedamos con él.) Ambos objetos tienen solo un agujero y es fácil ver cómo deformarse uno al otro.
La topología tiene como objetivo clasificar estos espacios por medios indirectos. Como a menudo es bastante difícil demostrar cómo deformar un espacio en particular para que se vea como otro, los topólogos desarrollan maquinaria matemática que toma espacios como entrada y produce un objeto algebraico. Esta salida podría ser solo un número o podría ser más complicada, pero la máquina debería tomar espacios que son “iguales” y escupir el mismo resultado. Esto nos permite distinguir espacios: dos entradas son diferentes si las salidas correspondientes son diferentes.
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Por ejemplo, puede parecer obvio que una rosquilla y una esfera son objetos distintos, pero solo porque no se puede ver cómo deformar uno al otro no se deduce que sea imposible. Sin embargo, la topología viene al rescate. Una de las muchas formas de mostrar que una esfera y una rosquilla no son lo mismo es calcular sus grupos fundamentales. Este es un objeto algebraico construido a partir de la consideración de bucles en el espacio.
Una forma útil de visualizar los bucles es imaginar una banda elástica sobre la superficie de un objeto. Primero considere la esfera. Cualquier bucle en la esfera contiene un disco en su interior, y ahora puede imaginarse reducir ese bucle a un solo punto tirando del disco. Por lo tanto, no hay ningún bucle interesante en la esfera: todos son deformables en un solo punto.
Sin embargo, eso no es cierto para la dona. De hecho, hay muchos bucles interesantes en su superficie (estamos tratando con una rosquilla hueca; no hay nada más que aire adentro). Uno de estos bucles se obtiene dibujando un círculo alrededor de una sección transversal vertical (el bucle azul en la figura a continuación). Otro surge de una sección transversal horizontal (el bucle rojo). Es imposible contraer estos bucles en un mismo punto, por lo que los grupos fundamentales de la esfera y la rosquilla no son los mismos y, por lo tanto, son objetos diferentes.
La topología de los materiales.
La topología funciona en todas las dimensiones, pero la física se ocupa principalmente de nuestro universo tridimensional (bueno, eso no siempre es cierto, solo pregunte a los teóricos de cuerdas). Al estudiar las propiedades eléctricas de los materiales, definitivamente estamos tratando con tres dimensiones. Incluso un cable delgado tiene largo, ancho y alto. Para un conductor eléctrico fijo, digamos un cable de cobre, generalmente es posible determinar la relación entre el voltaje colocado en el cable y la corriente que fluye. A veces, sin embargo, los materiales experimentan una transición de fase eléctrica (superconductividad, por ejemplo, que se obtiene al bajar la temperatura del material) y las ecuaciones habituales que rigen la ruptura de voltaje y corriente.
Sin embargo, Haldane y Kosterlitz descubrieron que matemáticamente estas transiciones corresponden a un cambio abrupto en el tipo topológico del material. Ciertas películas delgadas pueden considerarse bidimensionales (imagine una superficie de un solo átomo de espesor) y la corriente eléctrica a menudo fluye en canales en la superficie con baja resistencia. Resulta que hay puntos donde los electrones fluyen alrededor en un movimiento circular, a veces en sentido horario y en sentido antihorario, y el número de tales puntos puede cambiar a medida que el material experimenta una transición de fase.
Los matemáticos reconocen inmediatamente este tipo de espacio desde un primer curso en topología algebraica: es un plano con algunos puntos eliminados y su grupo fundamental es muy fácil de calcular. Resulta que el número de estos tipos de puntos determina completamente el tipo topológico del espacio.
