Análisis tensorial: ¿Por qué tenemos las relaciones [matemáticas] g_i = \ tfrac {\ partial x} {\ partial x ^ i} i + \ tfrac {\ partial y} {\ partial x ^ i} j + \ tfrac {\ parcial z} {\ parcial x ^ i} k [/ matemática], [matemática] \ nabla x ^ j = \ tfrac {\ parcial x ^ j} {\ parcial x} i + \ tfrac {\ parcial x ^ j} {\ parcial y} j + \ tfrac {\ parcial x ^ j} {\ parcial z} k [/ matemática], [matemática] g_i \ cdot \ nabla x ^ j = \ delta_i ^ j [/ matemática]?

Mi geometría diferencial está más que un poco oxidada, pero al primer sonrojo parecen declaraciones sobre la construcción de una base covariante. Las derivadas parciales [matemática] \ frac {\ parcial x ^ {i}} {\ parcial x_ {j}} [/ matemática] están destinadas a aproximar los cosenos de los ángulos entre los vectores que abarcan la [matemática] \ izquierda \ {e_ {i} \ right \} [/ math] y local [math] \ left \ {e ‘_ {i} \ right \} [/ math]. Piense en la trigonometría donde [matemáticas] cos \ left (\ theta \ right) = \ frac {adyacente} {hipotenusa} [/ matemáticas] para triángulos rectángulos. Por lo tanto, tenemos algo como [matemáticas] cos \ left (\ theta \ right) \ thickapprox \ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial x_ {j}} = \ frac {e ‘_ {i}} { e_ {j}} [/ math] que después de reorganizar le da los sistemas de ecuaciones [math] e ‘_ {j} = \ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial x_ {j}} e_ {i } [/matemáticas] . Se puede hacer el mismo argumento al revés para expresar la base local en términos de la base canónica que le da al sistema [matemáticas] e_ {i} = \ frac {\ partial x_ {j}} {\ partial x ^ {i}} e ‘_ {j} [/ matemáticas]. Dado que las matrices de coeficientes [math] \ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial x_ {j}} [/ math] y [math] \ frac {\ partial x_ {j}} {\ partial x ^ { i}} [/ math] son ​​solo los jacobianos [math] J [/ math] y su inverso [math] J ^ {- 1} [/ math] y porque [math] JJ ^ {- 1} = I [/ matemática], se deduce que [matemática] \ frac {\ partial x ^ {i}} {\ partial x_ {k}} \ frac {\ partial x_ {k}} {\ partial x_ {j}} = \ delta_ { j} ^ {i} [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que se supone que las funciones que describen la relación entre las coordenadas canónicas y curvilíneas [matemáticas] x_ {i} = f_ {i} \ left (x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots x ^ {n} \ derecha) [/ math] son ​​lo suficientemente suaves e invertibles para que la aproximación sea válida y exista el jacobiano inverso.

La prueba que he visto es geométrica. Quizás alguien encuentre un buen dibujo en algún lugar de Internet; No vi uno.