Una superficie de Riemann es una variedad riemanniana que es: 1) bidimensional y 2) orientable. Por lo tanto, cada superficie de Riemann es una variedad de Riemann, pero no todas las superficies de Riemann son una superficie de Riemann.
Por ejemplo, un círculo es una variedad riemanniana unidimensional; no es una superficie de Riemann. Del mismo modo, los objetos de dimensiones superiores tampoco serían superficies de Riemann.
Una botella de Klein es una superficie bidimensional, pero no es una superficie de Riemann porque no es orientable: si recorre ciertos bucles de la botella de Klein, verá que su sentido de izquierda / derecha cambia cuando Regrese a su posición inicial.
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Vale la pena señalar que, a menudo, una superficie de Riemann se define como un múltiple complejo unidimensional (es decir, si hace zoom en cualquier punto, la superficie es básicamente indistinguible de una parte del plano complejo). Esta es probablemente una definición más útil, pero es equivalente a la que he dado.
EDITAR: Después de revisar las definiciones de una superficie de Riemann, me di cuenta de que lo que había escrito no era del todo correcto. Es cierto que cualquier superficie de Riemann es una variedad Riemanniana orientable en 2-D, pero el problema es que podría haber más de una forma de darle la estructura de una variedad compleja . En general, debe tener en cuenta el espacio de módulos, que podría ser altamente no trivial.
