¿Cuál es el significado físico del hecho de que los operadores de velocidad para diferentes coordenadas no pueden conmutar para una partícula cuántica en un campo magnético?

Puede ser útil comprender este resultado si primero piensa en el movimiento clásico de un electrón en un campo magnético uniforme.

El electrón ejecutará el movimiento del ciclotrón en la dirección perpendicular al campo magnético, y se mueve uniformemente en la dirección paralela al campo.

La importancia del soporte de Poisson que no desaparece es que el campo magnético acopla inextricablemente las velocidades del movimiento en las dos direcciones perpendiculares al campo.

Estos ya no se pueden especificar de forma independiente en el problema de la mecánica cuántica, donde el soporte de Poisson se promueve a un conmutador.

En este caso, queda claro por la forma del hamiltoniano que hay una analogía con el oscilador armónico unidimensional.

Si construye los operadores:

[matemáticas] a = \ sqrt {\ frac {m} {2 \ hbar \ omega_c}} \, \, (v_x + i v_y) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] a ^ \ dagger = \ sqrt {\ frac {m} {2 \ hbar \ omega_c}} \, \, (v_x – i v_y) [/ math]

y reescriba el hamiltoniano en términos de estos, verá fácilmente que el hamiltoniano se reduce a un oscilador armónico, en la dirección perpendicular, con una frecuencia igual a la frecuencia del ciclotrón clásico.

La velocidad en la dirección paralela al campo magnético conmutará con las demás, de modo que el movimiento es simplemente movimiento de partículas libres a lo largo del campo magnético.

Por lo tanto, el movimiento en la dirección perpendicular se cuantifica: habrá una serie de niveles de energía igualmente espaciados, los niveles de Landau, correspondientes a órbitas circulares clásicas sucesivamente más grandes.

La cuantificación es necesaria porque la función de onda debe tener un solo valor, y el potencial vectorial que produce el campo B induce un cambio de fase específico en la función de onda de electrones a medida que se mueve alrededor de una órbita cerrada; el cambio de fase debe ser un múltiplo de [matemática] 2 \ pi [/ math] para que la función de onda tenga un solo valor, de modo que los radios permitidos de las órbitas electrónicas sean fijos en lugar de arbitrarios.

Es análogo a las condiciones de cuantificación de Bohr para órbitas circulares en el átomo de hidrógeno.

El movimiento será un continuo libre en la dirección paralela al campo.

En el caso general, con un campo no uniforme, esta descomposición en las direcciones paralela y perpendicular aún puede ser útil si el campo varía muy lentamente, aunque no se pueden encontrar soluciones exactas.