Aniruddhan Gowrisankar y Goran Savic dan muy buenas respuestas a esto. Dado que supongo que probablemente solo esté aprendiendo teoría cuántica, pensé en agregar a la discusión dando uno de mis ejemplos favoritos de cómo esto entra en juego y darle un ejemplo del principio de variación aplicado al Oscilador Armónico
Primero, la ecuación de Schrödinger. para el oscilador armónico lee:
[matemática] \ left (- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {k} {2} x ^ 2 \ right) \ psi (x) = E \ psi (x) [/ matemáticas]
Buscaremos una solución de prueba del formulario sugerido por Goran
[matemáticas] \ psi (x) = A e ^ {- ax ^ 2/2} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] A = (a / \ pi) ^ {1/4} [/ matemáticas] según lo determinado por la normalización, y a es un parámetro libre.
Ahora determinamos la energía, [math] \ langle x ^ 2 \ rangle [/ math] y [math] \ langle p ^ 2 \ rangle [/ math]. A partir de esto determinaremos el producto de incertidumbre.
[matemáticas] \ langle x ^ 2 \ rangle = \ frac {1} {2a} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ langle p ^ 2 \ rangle = \ frac {\ hbar ^ 2a} {2} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta el producto
[matemáticas] \ langle x ^ 2 \ rangle \ langle p ^ 2 \ rangle = \ hbar ^ 2/4 [/ math]
es cierto para todos los gaussianos (como se señaló).
Por la energía:
[matemáticas] E (a) = \ frac {1} {2m} \ langle p ^ 2 \ rangle + \ frac {k} {2} \ langle x ^ 2 \ rangle [/ math]
que evaluamos a
[matemáticas] E (a) = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {a} {2} + \ frac {k} {2} \ frac {1} {2a} [/ matemáticas]
Ahora minimizamos E (a) tomando la derivada wrt a y ajustándola a cero. Encontramos 2 soluciones y tomamos solo la positiva.
[matemáticas] a = \ frac {\ sqrt {km}} {\ hbar} [/ matemáticas]
con
[matemáticas] E = \ sqrt {\ frac {k} {m}} \ frac {\ hbar} {2} = \ frac {\ hbar \ omega} {2} [/ matemáticas]
También se puede demostrar fácilmente que el producto de incertidumbre que obtuvimos anteriormente es mínimo. Para esto usamos el teorema virial para escribir
[matemáticas] 2 \ langle T \ rangle = n \ langle V \ rangle [/ math]
que para el oscilador armónico da
[matemáticas] \ langle T \ rangle = \ langle V \ rangle [/ math]
y dado que E = T + V, tenemos [matemáticas] E = 2 \ langle V \ rangle = k \ langle x ^ 2 \ rangle [/ math]
o
[matemáticas] \ langle x ^ 2 \ rangle_n = \ frac {\ hbar \ omega} {k} (n + 1/2) [/ matemáticas]
que también nos da eso
[matemáticas] \ langle p ^ 2 \ rangle_n = m \ hbar \ omega (n + 1/2) [/ matemáticas]
donde el subíndice n = 0,1,2,3 … es el número cuántico HO. Ahora toma el producto:
[matemáticas] \ langle x ^ 2 \ rangle \ langle p ^ 2 \ rangle = \ hbar ^ 2 (n + 1/2) ^ 2 [/ math]
y lo ves para el Harmonic Osc.
[matemáticas] \ Delta x \ Delta p = \ hbar (n + 1/2) [/ matemáticas]
De hecho, encontramos que para cualquier solución de estado unido de la ecuación de Schrödinger, el estado de energía más bajo proporciona un mínimo en el producto de incertidumbre para ese sistema, pero solo los gaussianos dan exactamente [matemática] \ hbar / 2. [/ Matemática]
