Me imagino que intentaste sustituir la longitud de onda, directamente en [math] B_ν (T) [/ math] pero esto no funcionará porque obtienes diferentes poderes de [math] λ [/ math] y [math] c [/ matemáticas]. No debe olvidar que la ley de Planck se usa para obtener la distribución de la luz en un cuerpo negro, lo que significa que necesita diferenciar e integrar para encontrar la radiación total emitida o absorbida, por lo que le falta un factor de [matemática] dν [/ matemáticas] en algún lugar de la ecuación.
Comience con [matemáticas] B_ν (T) = \ frac {2hν ^ 3} {c ^ 2} \ frac {1} {e ^ {hν / k_BT} – 1} [/ matemáticas].
Ahora escríbelo como tal:
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[matemáticas] B_ν (T) dν = \ frac {2hν ^ 3} {c ^ 2} \ frac {dν} {e ^ {hν / k_BT} – 1} [/ matemáticas]
Ahora recuerde que [math] c = λν \ Rightarrow ν = \ frac {c} {λ}. [/ Math]
Diferenciar a izquierda y derecha para obtener una expresión de [math] dν [/ math] en términos de [math] dλ [/ math]:
[matemáticas] dν = – \ frac {c} {λ ^ 2} dλ [/ matemáticas]
Ignorar el signo menos y conectar la ecuación de Planck nos da:
[matemáticas] B_ν (T) dν = \ frac {2hν ^ 3} {cλ ^ 2} \ frac {dλ} {e ^ {hν / k_BT} – 1} [/ matemáticas]
y ahora sustituyendo [math] ν = \ frac {c} {λ} [/ math] en la ecuación anterior, para obtener:
[matemáticas] B_ν (T) dν = \ frac {2hc ^ 2} {λ ^ 5} \ frac {dλ} {e ^ {hc / λk_BT} – 1} = B_λ (T) dλ [/ matemáticas]
Ahora, si eliminamos el término [math] dλ [/ math] de ambos lados de la ecuación, terminamos con:
[matemáticas] \ boxed {Β_λ (T) = \ frac {2hc ^ 2} {λ ^ 5} \ frac {1} {e ^ {hc / λk_BT} – 1}} [/ math]
Cuál es la expresión que estabas buscando.
