La razón por la cual esta pregunta causa tanta confusión es que una regla (la fórmula simple de dilatación del tiempo que se encuentra en muchos libros de texto de nivel introductorio e incluso algunas publicaciones populares) se aplica fuera del alcance dentro del cual es válida (marcos de referencia inerciales en el espacio-tiempo de Minkowski )
Olvídate de la fórmula de dilatación del tiempo. Un concepto mucho más útil es el concepto de “tiempo apropiado”.
Sin entrar en detalles excesivos, el tiempo apropiado es esencialmente una medida de la longitud de la trayectoria de un observador en el espacio-tiempo. A diferencia del tiempo coordinado, que depende del observador, el tiempo apropiado es un invariante relativista; no depende de la elección del sistema de coordenadas. El tiempo apropiado también es exactamente la cantidad de tiempo medida por un reloj que se mueve a lo largo de esa trayectoria. Entonces “tiempo apropiado” es realmente un sinónimo de “tiempo medido por el viajero”.
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En geometría ordinaria, la distancia entre dos puntos es más corta a lo largo de una línea recta. En la geometría pseudoeuclidiana de la relatividad, el tiempo apropiado, que es una especie de “distancia”, es más largo a lo largo de una línea “recta”; Las líneas rectas, en relatividad, son las trayectorias espacio-temporales del movimiento inercial (sin aceleración).
Así que toma tus barcos gemelos A y B. Inicialmente, se encuentran en la misma ubicación al mismo tiempo, que es cómo sincronizan sus relojes. Luego se van. Finalmente, se vuelven a encontrar, cuando pueden comparar sus relojes.
Sus relojes habrán medido el tiempo adecuado a lo largo de sus respectivas trayectorias. Si ninguna de las naves aceleró, nunca podrán volver a encontrarse, por lo que esta segunda comparación de relojes no puede tener lugar. Uno de ellos al menos tiene que darse la vuelta, y eso requiere aceleración. Entonces, si se encuentran, al menos uno, posiblemente ambos, los barcos se habrán acelerado a medida que cambiaron de dirección. Por lo tanto, el tiempo adecuado a bordo de uno, o posiblemente ambos, será menor que el tiempo adecuado de un observador inercial que puede haber navegado por los barcos a la velocidad adecuada para estar presente en ambos eventos sin acelerar en el medio.
Si ambas naves hicieron la misma cantidad de aceleración (por ejemplo, si siguieron trayectorias simétricas de “espejo”) sus relojes pasarán sincronizados. Si una nave aceleró más que la otra, su reloj habrá mostrado menos tiempo (apropiado) transcurrido.
Permítanme ilustrar esto con un diagrama simple. Las dos naves, A y B , viajan entre dos eventos E 1 y E 2 (un evento es una ubicación en el espacio en un momento específico en el tiempo; así que si las dos naves se encontraron, digamos, el viernes a las 8 AM en el centro de Nueva Times Square de York, que sería un evento, caracterizado por la hora y la fecha, y la ubicación geográfica). El barco A “viaja” simplemente permaneciendo quieto, por lo que para este barco, solo el tiempo pasa, su ubicación (en su propio sistema de coordenadas inerciales) permanece constante. La nave B , sin embargo, sigue un camino más ondulante, acelerando.
Nuestra intuición nos dice que la longitud del camino curvilíneo del barco B es más larga. Por supuesto, esto es cierto en la geometría euclidiana ordinaria. En la geometría pseudoeuclidiana del espacio-tiempo, el camino del espacio-tiempo de la nave B es en realidad el más corto; El camino recto es siempre el más largo (tiene el tiempo más apropiado). Entonces, el barco B medirá (y experimentará) menos tiempo que el barco A a medida que pasa del evento E 1 a E 2. La parte importante, por supuesto, es que la simetría entre los caminos de los dos barcos se rompe: el barco B aceleró más que el barco A. Si el barco A hubiera seguido, por ejemplo, la imagen especular del camino del barco B , ambos habrían acelerado lo mismo, y sus relojes estarían sincronizados cuando se encuentren en el evento E 2.