Una nave espacial que acelera a 1G tarda casi un año en acercarse a la velocidad de la luz. ¿Es tiempo de la Tierra o de la nave? ¿Se aplicaría lo mismo a la desaceleración cuando alcanza su estrella objetivo?

Ninguno. Ejecuté algunos cálculos y parece que tomará aproximadamente 4.8 años en el marco del barco. (Matemáticas de miedo a continuación)

Hablemos de la vida de un astronauta que acelera uniformemente. La relatividad especial es “difícil” cuando tenemos cuadros de aceleración. No es totalmente imposible.

Dado un astronauta de masa my aceleración constante de [math] \ vec {a} = g \ vec {x} [/ math] (“un gee”) como se siente en el marco de la nave (en su marco de descanso instantáneo). Él despega en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas]. Describa su movimiento e “historia de vida” en un marco inercial en el que inicialmente está en reposo.

La velocidad del astronauta después de un tiempo determinado en el marco del laboratorio [matemática] t [/ matemática], suponiendo que [matemática] u_a (t = 0) = 0 [/ matemática] va a obedecer
[matemáticas] u_a (t) = c \ frac {\ frac {t} {\ kappa}} {\ sqrt {1 + \ left (\ frac {t} {\ kappa} \ right) ^ 2}} [/ math ]
donde [matemáticas] \ kappa = \ frac {c} {g} \ aprox. 0.97 \ text {años} [/ matemáticas] (esta es una feliz coincidencia). Podemos reescalar la ecuación anterior para que sea en años, aproximadamente:
[matemáticas] u_a (t) = c \ frac {t} {\ sqrt {1 + t ^ 2}} [/ matemáticas]
La pregunta es, ¿cuánto tiempo tarda el barco en llegar a [matemáticas] u_a (t_4) = 0.9999c [/ matemáticas] en el marco del laboratorio? Esto da [math] t_4 = 70.71 \ text {años} [/ math]. Hagamos una tabla rápida:

[matemáticas] u_a (t_1) = 0.9c \ qquad t_1 = 2.06 \ text {años} [/ matemáticas]
[matemáticas] u_a (t_2) = 0.99c \ qquad t_2 = 7.02 \ text {años} [/ matemáticas]
[matemáticas] u_a (t_3) = 0.999c \ qquad t_3 = 22.34 \ text {años} [/ matemáticas]
[matemáticas] u_a (t_4) = 0.9999c \ qquad t_4 = 70.71 \ text {años} [/ matemáticas]

¡Es bastante obvio que esto aumenta exponencialmente!

Pero la pregunta es, ¿cuál es el tiempo transcurrido en el marco del barco? Más matemáticas en relatividad especial … encontramos
[matemáticas] t = \ kappa \ sinh \ left (\ frac {\ tau} {\ kappa} \ right) [/ math]
o si calculamos en años:
[matemáticas] t = \ sinh \ left (\ tau \ right) [/ math]
donde [math] \ tau [/ math] es el tiempo transcurrido en el marco del barco. La tabla anterior se puede reescribir en tiempo de envío:

[matemáticas] t_1 = 2.06 \ text {años} \ qquad \ tau_1 = 1.47 \ text {años} [/ math]
[matemáticas] t_2 = 7.02 \ text {años} \ qquad \ tau_2 = 2.65 \ text {años} [/ math]
[matemáticas] t_3 = 22.34 \ text {años} \ qquad \ tau_3 = 3.80 \ text {años} [/ math]
[matemáticas] t_4 = 70.71 \ text {años} \ qquad \ tau_4 = 4.95 \ text {años} [/ math]

[1] Week_3.pdf: todas las citas de trabajo y matemáticas se encuentran en mis notas de discusión que di durante la tercera semana del otoño de 2013 en UChicago.

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