La métrica describe la curvatura del espacio-tiempo. Para entender esto, necesitamos entender qué significa la curvatura.
Considere la geometría euclidiana, que consideramos “plana” (sin curvatura). Recuerde dos propiedades importantes del espacio “plano” que lo distinguen de los espacios “curvos”:
- Los ángulos de un triángulo suman 180 grados.
- El teorema de Pitágoras tiene
Más precisamente, la versión infinitesimal del teorema de Pitágoras es válida: la longitud de una curva arbitraria es
- ¿Existe una equivalencia de espacio y tiempo como E = mc ^ 2 es la equivalencia de masa y energía?
- ¿Qué son los eventos simultáneos a la luz de la relatividad?
- ¿Qué significa físicamente 'El tiempo se ralentiza' cuando 'lento' o 'rápido' es una medida de cuánto tiempo ha tomado una actividad en particular?
- ¿Podrías usar un agujero negro para deformar el espacio de curvatura para que puedas viajar en una nave espacial a galaxias lejanas si no, qué tecnología necesitarían los humanos?
- Si el objeto O, inicialmente a una distancia de 1 año luz de distancia, se aleja con una velocidad de C, entonces, ¿qué tan lento pasará el tiempo para el objeto? ¿Cambiaría algo la tasa de tiempo si se moviera hacia mí?
[matemáticas] L = \ int ds [/ matemáticas]
donde en dos dimensiones [matemáticas] ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 [/ matemáticas]. En general, podemos escribir [math] ds ^ 2 = d \ mathbf {x} \ cdot d \ mathbf {x} [/ math] donde [math] \ mathbf {x} [/ math] es un vector de posición. Mientras tanto, calculamos ángulos usando la fórmula
[matemáticas] \ cos \ theta = \ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {\ sqrt {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {u}} \ sqrt {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}}} [/ math]
Ambas propiedades no se mantienen en la geometría no euclidiana, lo que sugiere que en el espacio “curvo”, se modifica la forma en que calculamos longitudes y ángulos.
Ahora, para calcular longitudes y ángulos en el espacio plano, hemos utilizado el producto de puntos. Me aseguré de hacer esto muy explícito. El producto punto se puede escribir en el formulario
[math] \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ mathbf {x} ^ TI \ mathbf {y} [/ math]
donde [math] \ mathbf {y} [/ math] es un vector de columna, [math] \ mathbf {x} ^ T [/ math] es un vector de fila y [math] I [/ math] es una matriz de identidad .
La idea básica detrás de la generalización de la geometría euclidiana a la geometría Minkowskiana de la relatividad especial es reemplazar la matriz de identidad [matemáticas] I [/ matemáticas] con la métrica de Minkowski [matemáticas] \ eta [/ matemáticas],
[matemáticas] I = \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y 1 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 1 \ end {pmatrix} [ /matemáticas]
[matemática] \ eta = \ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix }[/matemáticas]
y cuando hacemos la transición a la relatividad general , reemplazamos [math] \ eta [/ math] con una matriz simétrica arbitraria [math] g [/ math], que puede no ser constante de un punto a otro; es decir, [math] g [/ math] es una función de la posición [math] \ mathbf {x} [/ math].
Entonces el cálculo de ángulos se convierte
[matemáticas] \ cos \ theta = \ frac {\ mathbf {u} ^ T g (\ mathbf {x}) \ mathbf {v}} {\ sqrt {\ mathbf {u} ^ T g (\ mathbf {x} ) \ mathbf {u}} \ sqrt {\ mathbf {v} ^ T g (\ mathbf {x}) \ mathbf {v}}} [/ math]
donde los vectores [math] \ mathbf {u}, \ mathbf {v} [/ math] están ubicados en el punto con coordenadas [math] \ mathbf {x} [/ math]. Para longitudes,
[matemáticas] ds ^ 2 = d \ mathbf {x} ^ T g (\ mathbf {x}) d \ mathbf {x} [/ math]
Esta matriz [matemática] g [/ matemática], que usamos para calcular longitudes y ángulos, es la métrica . Una matriz simétrica de 4 × 4, tiene diez componentes independientes.
Es importante destacar que, en un sistema de coordenadas dado, el conocimiento de la métrica en una región abierta del espacio-tiempo determina completamente la curvatura del espacio-tiempo en esa región. ¡Esto nos dice que, en cierto sentido, cualquier curvatura, no importa cuán exótica, se puede medir y caracterizar midiendo longitudes y ángulos dentro del espacio-tiempo mismo!
Hay algunas cantidades útiles que se derivan de la métrica:
- Los símbolos de Christoffel, [matemáticas] \ Gamma ^ a_ {bc} [/ matemáticas]
- El tensor de curvatura de Riemann (RCT), [matemática] R ^ {abcd} [/ matemática]
- El tensor de Ricci, [matemáticas] R ^ {ab} [/ matemáticas], derivado del ECA
- El escalar Ricci, [matemáticas] R [/ matemáticas], derivado del tensor Ricci
Las ecuaciones de campo de Einstein son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales,
[matemáticas] R ^ {ab} – \ frac {1} {2} R g ^ {ab} + \ Lambda g ^ {ab} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T ^ {ab} [/matemáticas]
El lado derecho describe el contenido de materia y energía de una región del espacio-tiempo. [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] es la constante cosmológica. Todas las demás cantidades en el lado izquierdo se derivan de la métrica. Entonces las ecuaciones de campo de Einstein son las ecuaciones que determinan la métrica. Si arreglas el lado derecho y resuelves las ecuaciones de campo de Einstein, obtienes la métrica. Por lo tanto, las ecuaciones de campo de Einstein le dicen cómo la materia curva el espacio-tiempo , y lo hacen al permitirle resolver la métrica. (Advertencia: esta no es una tarea fácil, incluso en casos muy simples).
La métrica en la relatividad general es en realidad análoga al potencial gravitacional de la gravitación newtoniana. Como nuestro universo es casi plano, podemos elegir un sistema de coordenadas en el que la métrica se acerque a la métrica de Minkowski lejos de los cuerpos masivos, al igual que el potencial gravitacional newtoniano se aproxima a cero. En dicho sistema de coordenadas, la métrica se desviará más y más de la métrica de Minkowski a medida que nos acerquemos a un cuerpo masivo, al igual que el potencial gravitacional newtoniano aumenta en magnitud. Finalmente, podemos tomar el gradiente del potencial gravitacional newtoniano para obtener el campo gravitacional newtoniano, que describe cómo los cuerpos se mueven bajo la influencia de un campo gravitacional,
[matemáticas] \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} = \ mathbf {g} [/ math]
Del mismo modo, los símbolos de Christoffel se obtienen tomando las primeras derivadas parciales de la métrica, y describen cómo se mueven los cuerpos bajo la influencia de la curvatura espacio-temporal.
[matemáticas] \ frac {du ^ i} {ds} = – \ Gamma ^ i_ {jk} u_j u_k [/ matemáticas]
Se puede pensar que el hecho de que la métrica tenga 10 componentes independientes mientras que el potencial gravitacional newtoniano es un escalar refleja el hecho de que en la gravitación newtoniana, la masa es la fuente de la gravitación, mientras que en la relatividad general, no solo la masa contribuye, sino todas las formas de energía, impulso y el flujo de impulso (es decir, presión, cizallamiento).
