Hay una escala directa con el animal más grande posible y la fuerza de la gravedad. Esto tiene que ver con el hecho de que el animal no debe romperse sus propios huesos (o cualquier estructura que use para sostenerse) [1]
La ecuación relevante proviene de darse cuenta de que cuando se aplica una fuerza al cuerpo rígido, se dobla. En este caso, la fuerza es la gravedad y su ajuste es igual a la fuerza de restauración de un cuerpo rígido.
[matemáticas] mg = EA \ delta L / L [/ matemáticas]
donde [matemática] E [/ matemática] es el módulo de Young, [matemática] A [/ matemática] es el área de la sección transversal, [matemática] L [/ matemática] es la longitud del objeto y [matemática] \ delta L [/ matemática] es la desviación del material. Ahora la clave es que la masa es proporcional al volumen ya que las densidades de los objetos no son arbitrarias.
[matemáticas] m \ propto \ rho AL [/ matemáticas]
Esto significa que el área de la sección transversal del cuerpo se cancela. El cuerpo se vuelve más fuerte al ser más grueso, pero se vuelve más masivo a la misma velocidad. Entonces nos quedamos con
[matemáticas] \ rho g L \ sim E \ delta L / L [/ matemáticas]
El módulo de Young solo varía en un rango relativamente pequeño.
Ahora podríamos intentar construir lo que creemos que es la mejor forma de vida, pero imaginemos que la evolución ha hecho un buen trabajo al explorar los beneficios de ser grandes y pequeños. Entonces podemos tomar a los dinosaurios más grandes como cercanos al extremo superior de lo que es posible en nuestro planeta [2].
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El Universo es un lugar grande y diverso y no podemos imaginar el rango de planetas o formas de vida que existen en ellos. Sin embargo, eso es lo maravilloso de la física: es lo mismo en todas partes, independientemente de la vida o el planeta. La clave es que la mayoría de los materiales de cuerpo rígido tienen módulos de Young relativamente similares [3]. Los módulos de Young están dictados por la física atómica, por lo que no debe esperar que varíe enormemente independientemente de cuán extraña sea la composición de la vida extraterrestre [4].
Alternativamente, podrías imaginar tomar vida en un planeta y trasplantarlo a otro, terraformar el nuevo planeta en el camino y esperar mil millones de años y mirar para ver el rango de tamaños de seres vivos.
Toda esta discusión solo nos permite ver qué efecto tiene el tamaño del planeta y la gravedad en el tamaño de la vida, en lugar de centrarnos en otras diferencias.
La forma en que podemos abordar esto es tomando la proporción de dos seres compuestos de manera similar en el extremo superior del rango de tamaño para la vida en sus respectivos planetas y hacer que tengan las mismas densidades y módulos de Young. Casi todo se cae, excepto los tamaños y la gravedad:
[matemática] \ frac {g_1 L_1} {g_2 L_2} = \ frac {\ delta L_1 / L_1} {\ delta L_2 / L_2} [/ math]
Ahora, la cantidad de deflexión para los dos objetos se fijará antes de que los objetos se rompan (antes de que el material ya no sea elástico). Entonces el lado derecho es 1 y encontramos
[matemáticas] g_1 L_1 = g_2 L_2 [/ matemáticas].
Suponiendo que los dinosaurios estuvieran cerca del límite superior, supondríamos que si fueras a un planeta que tuviera 10 veces la gravedad, la especie más grande sería 1/10 del tamaño. Dado que los dinosaurios tenían alrededor de 100 m, en este nuevo planeta, los animales más grandes tendrían alrededor de 10 m. Del mismo modo, en un planeta que tenía 1/10 de la gravedad de la superficie, tendría una vida que podría ser 10 veces más grande con seres vivos móviles de 1000 m de tamaño.
La gravedad de un planeta está dada por
[matemáticas] g = \ frac {GM} {R} = \ frac {4 \ pi} {3} G \ rho R ^ 2 [/ matemáticas]
La mayoría de los planetas pequeños tienen la misma densidad, pero una vez que los planetas comienzan a ser del tamaño de la Tierra, comienzan a volverse más densos porque las rocas en el centro comienzan a comprimirse. Ignorando este cambio en las densidades
[matemáticas] R_1 ^ 2 L_1 = R_2 ^ 2 L_2 [/ matemáticas]
de modo que duplicar el radio del planeta conducirá a que el tamaño máximo de la vida sea una cuarta parte más grande. Realmente, debido al aumento de densidad, el tamaño máximo de vida se reducirá aún más.
Notas al pie:
[1] Una posibilidad que este análisis no tiene en cuenta sería charcos planos en el suelo. Serían esencialmente seres bidimensionales, incapaces de explorar hacia arriba. Creo que es seguro decir que no tendremos contacto con seres de esta forma (su complejidad sería muy limitada).
[2] Una evidencia de esto es que los dinosaurios tenían una gran cantidad de fracturas óseas, y aparentemente tenían una sorprendente habilidad para curarse a sí mismos. A medida que los animales se acercan al límite superior de los límites físicos del tamaño, sus huesos se romperán debido a pequeñas fuerzas adicionales, por ejemplo, caídas y en el límite extremo del tamaño, grandes aceleraciones causadas por movimientos como correr causarán roturas óseas.
[3] Esta afirmación puede parecer extraña para los no físicos porque la mayoría de los campos se definen entendiendo la diferencia entre los sujetos de estudio en lugar de los puntos en común. Entonces, por ejemplo, el módulo de Young siempre es proporcional a
[matemáticas] E \ propto \ text {Ry} / r_B ^ 3 \ simeq \ frac {\ alpha ^ 5 m_e ^ 4} {(\ hbar c) ^ 3} [/ matemáticas]
donde Ry es la constante de Rydberg y r_B es el radio de Bohr y alfa es la constante de estructura fina, m_e es la masa de electrones y hbar y c son la constante de Planck a la velocidad de la luz. Toda la variación entre diferentes materiales está en el prefactor, que es básicamente una geometría y es típicamente un factor de unos pocos y un factor de 100 como máximo. Eso puede ser mucho para un ingeniero, pero al considerar todas las variedades que pueden ocurrir en el Universo, eso no es mucho. Esta escala nos dice que 100 Giga-Pascales es la escala correcta para el módulo de Young, nunca encontrarás algo de 10000 GPa.
Similarmente para densidades
[matemáticas] \ rho \ simeq \ frac {\ alpha ^ 3 m_p m_e ^ 3} {\ hbar ^ 3 c} [/ matemáticas]
donde m_p es la masa de protones. Esto es cierto independientemente de la composición del material sólido. Puede verificar que el agua tiene una densidad de 1.0 g / cm ^ 3 y el hierro tiene una densidad de 7.8 g / cm ^ 3, solo un factor de 8 que pasa de un líquido hecho de hidrógeno y oxígeno a un metal sólido, incluso plomo es solo 11.3 g / cm ^ 3. Hay algunos metales pesados que llegan a 19 g / cm ^ 3 e incluso 22 g / cm ^ 3, pero eso es todo. Esta escala nos dice que los gramos por centímetro cúbico son la escala correcta para las densidades y nunca encontrarás algo de 100 g / cm ^ 3.
Dado que el módulo de Young y la densidad están relacionados con la velocidad del sonido en un material, encontrará
[matemáticas] c_s = \ sqrt {\ frac {E} {\ rho}} \ simeq \ alpha \ sqrt {\ frac {m_e} {m_p}} \; c [/ matemáticas]
Para todos los materiales sólidos. Esto nos dice que 10 km / s es el rango correcto para las velocidades de sonido en los materiales: no vas a encontrar algo que sea de 10,000 km / s.
Son este tipo de universalidades las que nos permiten comprender que, si bien el Universo es vasto y complicado, las leyes básicas de la física dictan un rango finito de posibilidades.
[4] Como ejemplo, los huesos humanos tienen un módulo de Young de 80GPa. Los nanotubos de carbono, uno de los materiales más fuertes conocidos, tiene un módulo de Young en el rango de 200-1000GPa, solo un factor de 3 a 10 más grande, en otras palabras, la evolución ha encontrado un material bastante bueno para construir vida. Se podría pensar que los nanotubos de carbono podrían tener densidades dramáticamente diferentes que el bon, pero tiene una densidad de 1.6g / cm ^ 3 versus hueso que es 1.8 g / cm ^ 3. Por lo tanto, puede obtener un factor de variación de tamaño de 3 a 10 debido a las diferencias de composición, pero lo más probable es que se acerque a un factor de 2 diferencias.