¿Cuáles son algunas propiedades compartidas de declaraciones no demostrables?

“No demostrabilidad” no es propiedad de una declaración. Es una relación entre un enunciado y una teoría matemática particular.

Por ejemplo, la ley conmutativa [matemática] \ forall x \ forall y \, xy = yx [/ math] no es demostrable (de hecho, es indecidible) en la teoría de grupos, porque algunos grupos son conmutativos y otros no. Sin embargo, es demostrable en la teoría de los grupos abelianos. La consistencia de Peano Arithmetic no es demostrable en Peano Arithmetic pero es demostrable en ZFC. Y así. No hay declaraciones “universalmente” no demostrables.

El conjunto de declaraciones que son indecidibles en una teoría particular no necesita ser autorreferencial en absoluto. El ejemplo que acabamos de ver, la ley conmutativa para la multiplicación, no es autorreferencial de ninguna manera. El postulado paralelo no es autorreferencial pero no es demostrable en la teoría de la geometría “general” (que incluye todos los demás axiomas de la geometría pero excluye el postulado paralelo).

Hay una ecuación polinómica con coeficientes enteros que no tiene solución en los enteros, pero para la cual este hecho no es demostrable en la aritmética de Peano. Esta afirmación tampoco tiene nada de autorreferencial.

De hecho, las declaraciones indecidibles para una teoría dada no comparten nada más que el hecho de que son indecidibles en esa teoría, lo que significa que la teoría tiene modelos donde se mantienen y modelos donde no. Eso es todo.

Ni siquiera especificó un sistema formal como referencia, por lo que esta pregunta es muy general.

Suponiendo que estamos trabajando en la lógica de primer orden, la demostrabilidad y la verdad en todos los modelos son lo mismo. Esto significa que si una declaración es independiente de un sistema formal, debe haber un modelo en el que sea verdadero y un modelo en el que sea falso. Por ejemplo, hay un modelo de aritmética de Peano en el que la oración de Gödel es falsa y en la que es verdadera.
Peor aún, asumiendo la consistencia de PA, PA no puede probar la afirmación [math] Con (PA) [/ math] que establece que PA es consistente. ¡Por lo tanto, podemos encontrar un modelo de [math] PA + \ neg con (PA) [/ math]!