¿Por qué necesitamos axiomas de conmutatividad si solo podemos definir un operador que sume / multiplique todos los elementos del conjunto?

En algunos casos, podemos probar la conmutatividad de varios operadores. En el conjunto de números naturales [matemática] N [/ matemática], por ejemplo, ni siquiera necesitamos axiomas sobre la suma y la multiplicación, no si tenemos disponible la teoría de conjuntos. En este caso, el único operador que realmente necesitamos definir es la función sucesora [matemática] S: N \ to N [/ matemática], donde [matemática] S (x) [/ matemática] es el sucesor de [matemática] x [/matemáticas].

Usando la definición de la función sucesora (ver Axiomas de Peano) y la teoría de conjuntos de axiomas, podemos probar la existencia de funciones binarias [matemáticas] + [/ matemáticas] y [matemáticas] \ veces [/ matemáticas] en [matemáticas] N [/ matemática] tal que:

  1. [math] \ forall a \ in N: a + 0 = x [/ math]
  2. [matemática] \ para todos a, b \ en N: a + S (b) = S (a + b) [/ matemática]
  3. [math] \ forall a \ in N: a \ times 0 = 0 [/ math]
  4. [math] \ forall a, b \ en N: a \ times S (b) = a \ times b + b [/ math]

Entonces podemos probar que [math] + [/ math] y [math] \ times [/ math] son ​​asociativas y conmutativas. También podemos demostrar que [math] + [/ math] es cancelable y que, para factores distintos de cero, [math] \ times [/ math] también es cancelable.

Podemos definir estos operadores porque tenemos estos axiomas. Piénselo, no tenemos operadores establecidos para la resta o división, necesitamos los otros operadores para esto, si es posible. Deje [matemáticas] a_1; a_2; a_3; \ ldots a_n \ in \ mathbb A [/ math] que [math] -a_1-a_2-a_3- \ ldots-a_n = -1 \ times \ sum \ mathbb A \ ne a_i-a_ {1} -a_ {2} – \ ldots-a_ {i-1} -a_ {i + 1} -a_ {i + 2} – \ ldots-a_n = a_i- \ sum \ limits_ {j = 1; j \ ne i} ^ {n} a_j [/ math]

o [matemáticas] \ frac {a_i} {\ frac {a_1} {\ frac {a_2} {\ frac {\ cdots} {\ frac {a_ {i-1}} {\ frac {a_ {i + 1}} {\ frac {\ cdots} {a_n} {}}}}}}} = a_i / a_1 / a_2 / a_3 / \ ldots / a_ {i-1} / a_ {i + 1} / \ ldots / a_n = \ frac {a_i} {\ prod \ limits_ {j = 1; j \ ne i} ^ {n} a_j} \ ne \ underbrace {\ frac {\ frac {\ frac {a_i} {a_j}} {\ frac {a_k} {a_l}}} {\ cdots} = ((a_i / a_j) / (a_k / a_l)) / (\ cdots)} _ {\ text {Ni siquiera sé qué es eso.}} [/ math]

Además, estos operadores a veces se usan para anotaciones breves de cosas que no tienen esta propiedad: Por ejemplo:

[matemáticas] \ mathbb M = \ {\ R ^ {n \ veces n} _ {1}; R ^ {n \ veces n} _ {2}; \ ldots; \ R ^ {n \ times n} _ {t} \} [/ math] es un conjunto de matrices cuaternarias [math] t [/ math]

[matemática] \ prod \ limits_ {i \ in \ operatorname {permutation_x} (1; 2; \ ldots; t)} M_ {i} \ ne \ prod \ limits_ {j \ in \ operatorname {permutation_y} (1; 2 ; \ ldots; t)} M_ {j} [/ math]

aún se puede usar el operador.

A2A: Porque existen grupos interesantes y útiles que no son conmutativos. Ver grupo no abeliano – Wikipedia. Proporciona ejemplos. El más común en mi experiencia es el grupo diédrico. Su operador no cambia la naturaleza del grupo subyacente.

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