En algunos casos, podemos probar la conmutatividad de varios operadores. En el conjunto de números naturales [matemática] N [/ matemática], por ejemplo, ni siquiera necesitamos axiomas sobre la suma y la multiplicación, no si tenemos disponible la teoría de conjuntos. En este caso, el único operador que realmente necesitamos definir es la función sucesora [matemática] S: N \ to N [/ matemática], donde [matemática] S (x) [/ matemática] es el sucesor de [matemática] x [/matemáticas].
Usando la definición de la función sucesora (ver Axiomas de Peano) y la teoría de conjuntos de axiomas, podemos probar la existencia de funciones binarias [matemáticas] + [/ matemáticas] y [matemáticas] \ veces [/ matemáticas] en [matemáticas] N [/ matemática] tal que:
- [math] \ forall a \ in N: a + 0 = x [/ math]
- [matemática] \ para todos a, b \ en N: a + S (b) = S (a + b) [/ matemática]
- [math] \ forall a \ in N: a \ times 0 = 0 [/ math]
- [math] \ forall a, b \ en N: a \ times S (b) = a \ times b + b [/ math]
Entonces podemos probar que [math] + [/ math] y [math] \ times [/ math] son asociativas y conmutativas. También podemos demostrar que [math] + [/ math] es cancelable y que, para factores distintos de cero, [math] \ times [/ math] también es cancelable.
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