¿Cómo y por qué las matemáticas pasaron de la realidad tangible a los conceptos abstractos?
¡Siempre fue así! Al menos tan atrás como existía el concepto de Matemáticas.
La aplicación de las Matemáticas a la realidad, hoy en día llamada Física o Ingeniería o algo así, en realidad también son conceptos abstractos que se basan en un modelo que conecta las abstracciones matemáticas con los fenómenos observados. A veces, esos modelos son simples y “obvios” e incluso tan “triviales” que no nos damos cuenta de que hay modelos en curso. El ejemplo más simple ocurre incluso antes de ir a la escuela: identificar y contar objetos.
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El conteo es en realidad una abstracción matemática sofisticada que, para usar otra abstracción, implica una biyección entre los objetos que se cuentan y los números naturales. Si tiene alguna comprensión concreta de los números naturales, como el conjunto de dígitos de madera de un niño, puede felizmente “contar” hasta diez sin contar realmente en orden simplemente combinando los dígitos de madera con los objetos.
Un matemático inteligente llamado Georg Cantor usó esta misma técnica para “contar” los miembros de conjuntos infinitos. Al hacerlo, demostró que había el mismo número de números racionales que los números naturales (porque puede emparejar cada número racional con un número natural único). También demostró que había estrictamente más números reales que números naturales usando su argumento diagonal (ahora famoso).
Es posible que hayas pensado que contar era una realidad tangible. De hecho, los matemáticos en una etapa también pensaron que las Matemáticas hablaban verdades fundamentales sobre la realidad. Por ejemplo, Euclidean Geometry hablaba de cómo era realmente el espacio. Euclides codificó su geometría alrededor del 300 a. C. en un tratado absolutamente brillante llamado los Elementos. A pesar de cierta preocupación por algunos aspectos del tratado que mantuvo su influencia durante más de dos milenios hasta que, hace menos de dos siglos, el quinto postulado de Euclides (el postulado paralelo) finalmente demostró ser independiente de los otros postulados, y las geometrías no euclidianas podrían ser desarrollado.
Con múltiples geometrías potenciales, ¿cuál es la Verdad (con una T mayúscula)? ¡Ninguno de ellos! Por mucho que hayamos pensado que estábamos hablando de la realidad tangible durante todos esos años, resulta que solo estábamos manipulando conceptos abstractos autoconsistentes. Los que fueron, y siguen siendo, extraordinariamente útiles para modelar la realidad, pero que no son la realidad tangible en sí.
Se podría argumentar que las matemáticas realmente se convirtieron en conceptos abstractos durante el período del siglo [matemático] 19 ^ {\ text {th}} [/ matemático] a medida que la geometría no euclidiana y otras abstracciones se aceptaron, pero el hecho es que las matemáticas han estado y se trata de conceptos abstractos incluso cuando no nos damos cuenta.
