¿Es un grupo abeliano finito donde cada elemento no trivial es de orden 2 isomorfo a Z_2 ^ n para algún n?

De hecho, si [math] G [/ math] es cualquier grupo en el que cada elemento no identitario tiene orden [math] 2 [/ math], entonces [math] G [/ math] es abelian. Esto es porque para cualquier [matemática] a, b \ en G [/ matemática], tenemos [matemática] (ab) ^ 2 = abab = e [/ matemática], y por lo tanto [matemática] ab = ba [/ matemática] . Por lo tanto, la suposición “abeliana” en la pregunta es redundante.

Ahora para responder a la pregunta, de hecho, esto es cierto. Según el teorema de estructura para grupos abelianos finitamente generados, cualquier grupo abeliano finito toma la forma de

[matemáticas] \ displaystyle G \ cong \ bigoplus_ {p ^ k} \ mathbf Z / p ^ k \ mathbf Z [/ math]

donde la suma directa es finita, y [matemática] p ^ k [/ matemática] corre sobre algún conjunto de poderes primarios. Si cada elemento de [math] G [/ math] tiene orden [math] 2 [/ math], entonces el único sumando que podría aparecer en el lado derecho es [math] \ mathbf Z / 2 \ mathbf Z [/ math ], entonces el resultado sigue.

Hay varias formas de obtener el teorema de la estructura: una es obtener el resultado más general de clasificar módulos generados finitamente sobre dominios ideales principales (por ejemplo, usando la forma normal de Smith), y otra es usar la teoría de caracteres. El último enfoque se utiliza para demostrarlo aquí.