En la forma en que los físicos usan el término “operador Casimir”, nos referimos a trazas de productos de generadores. Para cúbico queremos decir algo como:
[matemáticas] \ text {Tr} T ^ A_r T ^ B_r T ^ C_r [/ math]
donde [math] T ^ A_r [/ math] son los generadores del grupo en la representación [math] r [/ math] y [math] A [/ math] se ejecuta sobre todos los generadores diferentes.
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Siempre hay las constantes de estructura [math] f ^ {ABC} [/ math] para cada grupo que es cúbico, pero por lo general no es de lo que la gente habla. Esto es antisimétrico en los tres índices adjuntos.
En cambio, las personas generalmente se refieren al operador que es simétrico en las tres indicaciones adjuntas.
[matemáticas] d_r ^ {ABC} = \ text {Tr} T ^ A_r \ {T ^ B_r, T ^ C_r \} [/ math]
Este operador es realmente importante para las teorías de calibre cuántico porque si este operador tiene un coeficiente distinto de cero al sumar todas las representaciones en la teoría, causa una anomalía donde la invariancia de calibre clásica no se promueve a la invariancia de calibre cuántico.
Lo que esto significa es que el bosón de calibre adquiere una masa a nivel de bucle: un diagrama de 3 bucles que involucra dos diagramas triangulares de materia conectados con bosones de calibre. La masa es proporcional a
[matemáticas] M ^ 2 {\,} ^ {AB} \ sim d ^ {ACD} d ^ {BEF} \; \ delta_ {CE} \ delta_ {DF} [/ math]
Entonces el Casimir cúbico es realmente importante para las teorías de calibre.
Puede mostrar que este operador siempre desaparece para representaciones reales o pseudo-reales y solo puede desaparecer para representaciones complejas. Puede demostrar que desaparece para todos los grupos ortogonales excepto SO (6), también desaparece para los grupos de Lie simples y simplécticos. Generalmente está presente en grupos unitarios que comienzan en SU (3). Por lo tanto, cualquier repetición compleja en grupos unitarios está en peligro de tener una anomalía.
La razón por la que esto es tan importante es que solo las representaciones complejas son quirales, lo que significa que la simetría del calibre prohíbe los términos de masa para los fermiones. Esto es realmente importante porque explica por qué los fermiones pueden ser paramétricamente más ligeros que la escala de Planck, ¡por qué el electrón es tan ligero!
Pero existe esta tensión entre la simetría quiral calibrada y la invariancia de calibre cuántico. De hecho, el modelo estándar es la teoría más simple que exhibe simetría quiral calibrada.
