La teoría K es útil en dos campos principales en física: la teoría de cuerdas y la física de la materia condensada. Dado que mi sesgo personal es hacia cosas que podemos observar, explicaré su aplicación a la materia condensada.
¿Qué es la teoría K?
Hablando en términos generales, es una forma de clasificar invariantes de matrices grandes. En matemáticas, a menudo encontramos invariantes en topología. La característica de Euler es probablemente la más familiar. Te dice que un toro es diferente de una esfera, porque uno tiene un agujero y el otro no.
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Sin embargo, puede tener muchos invariantes diferentes, especialmente en dimensiones arbitrarias, y la teoría K es útil para clasificarlos.
¿Dónde se encuentra en física?
Un ejemplo es el efecto Hall cuántico (QHE), que posiblemente sea el descubrimiento más importante en la física de la materia condensada en los últimos 40 años.
Tiene una lámina metálica plana con una caída de voltaje, por lo que los electrones fluyen en la dirección de la diferencia de voltaje. También hay un campo magnético perpendicular a la lámina, que hace que los electrones se desplacen transversalmente a la corriente eléctrica inicial debido a la ley de fuerza de Lorentz
[matemáticas] F = q (v \ veces B) [/ matemáticas]
Si observa esa ecuación, verá que cuanto más grande es B, más fuerza sienten los electrones, por lo que se desplazarán más rápido, por lo tanto, la corriente de deriva aumentará. ¡El QHE fue el descubrimiento de que esta corriente transversal está cuantificada, es decir, está viendo el comportamiento cuántico en una escala macroscópica! Precisamente, la conductancia de Hall es
[matemáticas] \ sigma_ {xy} = n \ frac {e ^ 2} {\ hbar} [/ matemáticas]
donde n es un entero. Resulta que este número entero también es el primer número de Chern, que es invariante de la teoría K.
¿Qué significa esto físicamente?
Bueno, el número de Chern es una invariante topológica, por lo que te dice que el efecto Hall cuántico es un estado topológico de la materia. Es decir, es un estado que es robusto a las perturbaciones locales del hamiltoniano.
Este fue el primer descubrimiento de un estado topológico de la materia, que ahora es un campo muy activo en física, que está cerrando la brecha entre campos altamente matemáticos y más prácticos en física.
Espero que este alto nivel proporcione cierta intuición para futuras investigaciones.
