¿Cuál es el centro de masa de un hemisferio?

¡Bien, hagamos algunas integrales!

( ¡Ponte en contacto, tus habilidades de triple integración son una mierda! )

¿Qué? No … No, no lo son! ¡Te mostrare!

( ¿Cómo dejó todos esos borradores sin terminar porque no pudo encontrar una integral simple en coordenadas polares? )

Pero … ¡Ese problema tenía trigonometría!

( Lo que sea )

Pffft. El perdedor del cerebro izquierdo siempre es escéptico.

Definamos un sistema de coordenadas (x, y, z) de modo que el hemisferio tenga su cara plana en el plano xy.

Bien, necesitamos integrarnos sobre la región una vez, para encontrar la coordenada z del centro de masa. Ya sabemos que el centro de masa está sobre el origen por simples argumentos de simetría.

Entonces podemos uhh …

* Piensa un rato *

* Mira las notas de matemáticas en línea de Pauls *

( Te estás avergonzando de nuevo; te dije que prestaras atención en matemáticas, pero oh, no, no es lo suficientemente importante )

Me estás poniendo nervioso!

Entonces, podemos expresar el centro de masa como:

[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {1} {M} \ iiint_ {V} \ rho (x, y, z) z \: dV [/ matemáticas]

Puede pensar en esta fórmula como tomar el promedio de las posiciones del eje z de cada partícula infinitesimalmente pequeña, ponderada de acuerdo con la masa de la partícula, que está representada por la función de densidad, [matemática] \ rho [/ matemática]. Pero suponemos que el hemisferio tiene una densidad uniforme, por lo que podemos sacar la función constante de la integral:

[math] m_z = \ displaystyle \ frac {\ rho} {M} \ iiint_ {V} z \: dV [/ math]. Y luego podemos cancelar el factor de densidad de la masa y conectar el volumen de un hemisferio:

[math] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {2 \ pi R ^ 3} \ iiint_ {V} z \: dV [/ math]. Ahora tenemos una integral simple para evaluar en coordenadas esféricas:

[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {2 \ pi R ^ 3} \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {R} r ^ 3 \ cos \ phi \ sin \ phi \: dr \: d \ theta \: d \ phi [/ math], donde [math] r [/ math] representa el radio en forma esférica coordenadas, [matemática] \ phi [/ matemática] es el ángulo entre el punto y el eje z, y [matemática] \ theta [/ matemática] es el ángulo acimutal. Ya he multiplicado el jacobiano en el integrando.

( Porque lo buscaste en Google en el último minuto y te diste cuenta de que te equivocaste ).

Ciérralo. En adelante, evaluando la integral anidada más interna (y usando una identidad trigonométrica para simplificar),

[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {16 \ pi R ^ 3} \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} R ^ 4 \ sin (2 \ phi) \: d \ theta \: d \ phi [/ math].

Continuando hacia afuera, notamos que el integrando es independiente de [math] \ theta [/ math], por lo que multiplicamos el exterior por [math] 2 \ pi [/ math],

[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {8R ^ 3} \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} R ^ 4 \ sin (2 \ phi) \: d \ phi [ /matemáticas].

Evaluando la integral final,

[matemáticas] m_z = \ frac {3} {16R ^ 3} 2R ^ 4 [/ matemáticas].

( Vi a WolframAlpha venir por esa integral )

¡Ya casi terminamos!

[matemáticas] m_z = \ frac {3} {8} R [/ matemáticas].

¡Ahí está nuestro resultado! Después de todas esas matemáticas, tenemos que el centro de masa de un hemisferio está a 3/8 del camino hacia arriba.

(Podrías haberlo buscado en WolframAlpha …)

Bueno, eso fue desalentador. Supongo que ahora me mostraré en otro lugar … * resopla *

EDITAR: si no comprende los principios de integración de volumen y todos los problemas con el jacobiano, puede echar un vistazo a la respuesta de Steve Jones, que explota la simetría circular para reducir el problema a una sola integral.

En física, el centro de masa de una masa, o una colección de masas discretas, es el punto singular donde reside la posición relativa pesada de la masa extendida. La fórmula utilizada para encontrar el centro de masa es

R = 1 / M (∑mi ri) cuando i cambia de 1 a n

Donde el sistema incluye “n” número de masas, cada una con alguna masa m que se encuentra en el espacio con coordenadas r i , i = 1, …, n . Las coordenadas R representan la posición del centro de masa.

Esta es una definición matemática muy científica.

Para simplificarlo, si tomara un cartón rectangular, sabría intuitivamente que el centro de masa es el punto donde se cruzan las diagonales. O, si toma una pelota de tenis, sabe que está justo en el centro de la esfera. Si tomara 2 pelotas de tenis similares y las separara 1 m, sabría que el centro de masa de este sistema (es decir, 2 pelotas) sería su centro. Si una de estas bolas era más pesada, el COM se desplazará hacia la bola más pesada. Pero, ¿qué pasaría si tomara una masa irregular como un bate de cricket? El centro de masa probablemente residiría debajo del centro del bate, en la mitad inferior (ya que la masa del mango es relativamente menor). Tendría que dividir todo el murciélago en piezas infinitesimalmente pequeñas y usar el cálculo integral para encontrar el centro de masa.

El concepto de centro de masa puede ser muy poderoso si tiene que lidiar con un objeto con el fin de resolver un problema en Física (a menudo relacionado con las leyes de movimiento de Newton, momento lineal o momento angular), puede suponer que toda la masa del objeto reside en este punto. Por lo tanto, esto puede tratarse como un objeto puntual.

Mire este video para comprender mejor este concepto.

Centro de misa | Aprende a encontrarlo # 1

Suponga que el radio de la esfera es 1. El volumen de una esfera completa sería v = (4 * pi * r ^ 3) / 3 = pi * 4/3.

El volumen del hemisferio sería entonces pi * 2/3.

El centro de masa del hemisferio debe tener la mitad de este volumen a cada lado, pi / 3.

El centro de masa debe estar en el centro de la base de una tapa esférica con la mitad del volumen del hemisferio (ecuación en la página vinculada). Deberíamos poder enchufar el volumen y descubrir qué es h, la altura de la tapa esférica. rh sería entonces la distancia desde la base del hemisferio hasta el centro de masa.

Resulta que el centro de masa de un hemisferio de radio r está r * 3/8 por encima del centro del lado plano del hemisferio.

(Editar: creo que hay un error en mis matemáticas)

Ver centro de masa de semiesfera

No puede simplemente integrar elementos de volumen.

Tienes que multiplicar dichos elementos por su distancia desde el centro de masa del hemisferio.

Para una esfera unitaria de densidad uniforme, deje que “a” sea la distancia desde el centro de la esfera hasta el centro de masa del hemisferio superior.

Luego proceda de la siguiente manera:

El centro de masa de un hemisferio está a una distancia de 3R / 8 de la superficie plana a lo largo del radio desde el centro dibujado a lo largo de la línea de simetría, siendo R el radio del hemisferio.

¿Cuál es el centro de masa de un hemisferio?

Para confirmar la respuesta de Gary Williams, acabo de probar esto en SolidWorks. Para un diámetro de 100, el centro de masa es 18,75 desde el plano inferior. Entonces, la proporción de 3/8 del radio es verdadera para un hemisferio.

Esta es la coordenada del centro de masa. Las x y z se pueden encontrar usando simetría

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