¡Bien, hagamos algunas integrales!
( ¡Ponte en contacto, tus habilidades de triple integración son una mierda! )
¿Qué? No … No, no lo son! ¡Te mostrare!
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( ¿Cómo dejó todos esos borradores sin terminar porque no pudo encontrar una integral simple en coordenadas polares? )
Pero … ¡Ese problema tenía trigonometría!
( Lo que sea )
Pffft. El perdedor del cerebro izquierdo siempre es escéptico.
Definamos un sistema de coordenadas (x, y, z) de modo que el hemisferio tenga su cara plana en el plano xy.
Bien, necesitamos integrarnos sobre la región una vez, para encontrar la coordenada z del centro de masa. Ya sabemos que el centro de masa está sobre el origen por simples argumentos de simetría.
Entonces podemos uhh …
* Piensa un rato *
* Mira las notas de matemáticas en línea de Pauls *
( Te estás avergonzando de nuevo; te dije que prestaras atención en matemáticas, pero oh, no, no es lo suficientemente importante )
Me estás poniendo nervioso!
Entonces, podemos expresar el centro de masa como:
[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {1} {M} \ iiint_ {V} \ rho (x, y, z) z \: dV [/ matemáticas]
Puede pensar en esta fórmula como tomar el promedio de las posiciones del eje z de cada partícula infinitesimalmente pequeña, ponderada de acuerdo con la masa de la partícula, que está representada por la función de densidad, [matemática] \ rho [/ matemática]. Pero suponemos que el hemisferio tiene una densidad uniforme, por lo que podemos sacar la función constante de la integral:
[math] m_z = \ displaystyle \ frac {\ rho} {M} \ iiint_ {V} z \: dV [/ math]. Y luego podemos cancelar el factor de densidad de la masa y conectar el volumen de un hemisferio:
[math] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {2 \ pi R ^ 3} \ iiint_ {V} z \: dV [/ math]. Ahora tenemos una integral simple para evaluar en coordenadas esféricas:
[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {2 \ pi R ^ 3} \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ int_ {0} ^ {R} r ^ 3 \ cos \ phi \ sin \ phi \: dr \: d \ theta \: d \ phi [/ math], donde [math] r [/ math] representa el radio en forma esférica coordenadas, [matemática] \ phi [/ matemática] es el ángulo entre el punto y el eje z, y [matemática] \ theta [/ matemática] es el ángulo acimutal. Ya he multiplicado el jacobiano en el integrando.
( Porque lo buscaste en Google en el último minuto y te diste cuenta de que te equivocaste ).
Ciérralo. En adelante, evaluando la integral anidada más interna (y usando una identidad trigonométrica para simplificar),
[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {16 \ pi R ^ 3} \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} R ^ 4 \ sin (2 \ phi) \: d \ theta \: d \ phi [/ math].
Continuando hacia afuera, notamos que el integrando es independiente de [math] \ theta [/ math], por lo que multiplicamos el exterior por [math] 2 \ pi [/ math],
[matemáticas] m_z = \ displaystyle \ frac {3} {8R ^ 3} \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} R ^ 4 \ sin (2 \ phi) \: d \ phi [ /matemáticas].
Evaluando la integral final,
[matemáticas] m_z = \ frac {3} {16R ^ 3} 2R ^ 4 [/ matemáticas].
( Vi a WolframAlpha venir por esa integral )
¡Ya casi terminamos!
[matemáticas] m_z = \ frac {3} {8} R [/ matemáticas].
¡Ahí está nuestro resultado! Después de todas esas matemáticas, tenemos que el centro de masa de un hemisferio está a 3/8 del camino hacia arriba.
(Podrías haberlo buscado en WolframAlpha …)
Bueno, eso fue desalentador. Supongo que ahora me mostraré en otro lugar … * resopla *
EDITAR: si no comprende los principios de integración de volumen y todos los problemas con el jacobiano, puede echar un vistazo a la respuesta de Steve Jones, que explota la simetría circular para reducir el problema a una sola integral.