¿Qué es una explicación intuitiva de un grupo de Galois? La Ciencia y la Tecnología mejoran el futuro

Un grupo de Galois le dice cómo puede barajar las raíces de algún polinomio de manera que conserve buenas propiedades algebraicas.

Para tener una idea de lo que esto significa, es menos valioso encontrar una explicación simple (o complicada) que ver muchos ejemplos. Entonces, hagamos eso.

Por simplicidad, solo voy a considerar polinomios sobre los números racionales (es decir, polinomios cuyos coeficientes son números racionales). En principio, uno podría considerar polinomios sobre cualquier campo (si eso es algo con lo que está familiarizado).

Consideremos el polinomio [matemático] P (X) = X ^ 2 + 1 [/ matemático]. Este polinomio no tiene ninguna raíz en los racionales (que en adelante denominaré [math] \ mathbb {Q} [/ math]). Sin embargo, tiene raíces en una extensión de [math] \ mathbb {Q} [/ math], específicamente [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-1}) [/ math], que es el conjunto de todos elementos de la forma [math] a + b \ sqrt {-1} [/ math], donde [math] a, b [/ math] son números racionales.

Puede verificar que [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-1}) [/ math] está cerrado bajo suma, resta, multiplicación y división (lo que quiere decir que es un campo). Lo llamamos el campo de división de [matemáticas] P (X) [/ matemáticas], es decir, es el campo más pequeño posible en el que podemos factorizar [matemáticas] P (X) [/ matemáticas] en piezas lineales.

Específicamente, en [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-1}) [/ math], podemos factorizar [math] P (X) = X ^ 2 + 1 = (X + \ sqrt {-1} ) (X – \ sqrt {-1}) [/ math]. Como solo hay dos raíces, solo hay dos formas posibles de barajarlas. Es decir, podemos dejarlos como están o enviar [math] \ sqrt {-1} \ mapsto – \ sqrt {-1} [/ math], y eso es todo.

Aunque inicialmente este último modificador se define en las raíces de [math] P (X) [/ math], podemos extenderlo a una función en [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-1}) [/ matemática]: se trata de una conjugación compleja, que se define por

[matemáticas] \ sigma \ left (a + b \ sqrt {-1} \ right) = \ overline {a + b \ sqrt {-1}} = a – b \ sqrt {-1} [/ math].

Está claro que [math] \ sigma [/ math] tiene la propiedad deseada que [math] \ sigma (\ sqrt {-1}) = – \ sqrt {-1} [/ math]. Esta función [math] \ sigma [/ math] tiene otras buenas propiedades:

[matemática] \ sigma (q) = q [/ matemática] para cualquier racional [matemática] q [/ matemática].
[math] \ sigma (\ alpha + \ beta) = \ sigma (\ alpha) + \ sigma (\ beta) [/ math] para cualquier [math] \ alpha, \ beta [/ math] en [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-1}) [/ math].
[math] \ sigma (\ alpha \ beta) = \ sigma (\ alpha) \ sigma (\ beta) [/ math] para cualquier [math] \ alpha, \ beta [/ math] en [math] \ mathbb {Q } (\ sqrt {-1}) [/ math].

Llamamos a una función con tales propiedades un [math] \ mathbb {Q} [/ math] – automorfismo , es decir, es una función en nuestra estructura algebraica que fija [math] \ mathbb {Q} [/ math] (que es decir, cualquier número racional se envía a sí mismo) y respeta las relaciones algebraicas de suma y multiplicación.

El grupo de Galois de [math] \ mathbb {Q} (\ sqrt {-1}) [/ math] es el conjunto de todos sus [math] \ mathbb {Q} [/ math] -automorphisms (donde la operación del grupo es composición). En este caso, consta de solo dos elementos: la función [math] id [/ math] que se define por [math] id (x) = x [/ math], y la función [math] \ sigma [/ math ] que acabamos de describir.

Con suerte, está claro que estas dos funciones son [math] \ mathbb {Q} [/ math] -automorphisms. Para ver que son los únicos, tenga en cuenta que si tenemos un [math] \ mathbb {Q} [/ math] -automorphism [math] \ sigma ‘[/ math] y una raíz [math] x [/ math] de [matemáticas] P (X) [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] 0 = P (x) = \ sigma ‘\ left (P (x) \ right) = \ sigma’ \ left (x ^ 2 + 1 \ right) [/ math]

[math] = \ sigma ‘\ left (x ^ 2 \ right) + \ sigma’ [/ math] [math] (1) = \ sigma ‘(x) ^ 2 + 1 [/ math],

lo que muestra que cualquier [math] \ mathbb {Q} [/ math] -automorphism tomará raíces de [math] P (X) [/ math] a las raíces de [math] P (X) [/ math], eso es , corresponde a una permutación de las raíces de [matemáticas] P (X) [/ matemáticas]. Dado que hemos tenido en cuenta todos los posibles cambios de las raíces de [matemáticas] P (X) [/ matemáticas], sabemos que no hay otros [matemáticas] \ mathbb {Q} [/ matemáticas] -automorfismos.

Bien, intentemos con otro ejemplo. Esta vez, consideraremos que nuestro polinomio es [matemático] P (X) = X ^ 4 – X ^ 2 – 2 [/ matemático]. Esto tampoco tiene raíces en los racionales, aunque sí factoriza como [matemática] P (X) = (X ^ 2 + 1) (X ^ 2 – 2) [/ matemática]. El campo de división de este polinomio es [math] \ mathbb {Q} \ left (\ sqrt {-1}, \ sqrt {2} \ right) [/ math], que consiste en todo lo de la forma

[matemáticas] a + b \ sqrt {-1} + c \ sqrt {2} + d \ sqrt {-2} [/ matemáticas], donde [matemáticas] a, b, c, d [/ matemáticas] son todas racionales .

En este campo, obtenemos [matemáticas] P (X) = (X – \ sqrt {-1}) (X + \ sqrt {-1}) (X – \ sqrt {2}) (X + \ sqrt {2 }) [/matemáticas]. Como tenemos cuatro raíces, tenemos toneladas de opciones posibles para permutaciones de ellas ([matemáticas] 4! = 24 [/ matemáticas], para ser precisos). Por ejemplo, podríamos intentar

[matemáticas] \ sqrt {-1} \ mapsto \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {2} \ mapsto \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ sqrt {-1} \ mapsto – \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ sqrt {2} \ mapsto – \ sqrt {2} [/ matemáticas].

Sin embargo, la mayoría de estas permutaciones no se corresponderán con [math] \ mathbb {Q} [/ math] -automorphisms. Para el ejemplo que he dado anteriormente, por ejemplo, tendríamos que tener

[matemáticas] -1 = \ sigma (-1) = \ sigma \ left (\ sqrt {-1} ^ 2 \ right) = \ sigma \ left (\ sqrt {-1} \ right) ^ 2 = \ sqrt { 2} ^ 2 = 2 [/ matemáticas],

que claramente no funciona Si pasa por todas las posibilidades, encontrará que en realidad solo hay cuatro opciones posibles de barajado que corresponderán a un [math] \ mathbb {Q} [/ math] -automorphism. Estos son:

[matemática] \ sqrt {-1} \ mapsto \ sqrt {-1} [/ matemática], [matemática] \ sqrt {2} \ mapsto \ sqrt {2} [/ matemática]
[matemática] \ sqrt {-1} \ mapsto – \ sqrt {-1} [/ matemática], [matemática] \ sqrt {2} \ mapsto \ sqrt {2} [/ matemática]
[matemática] \ sqrt {-1} \ mapsto \ sqrt {-1} [/ matemática], [matemática] \ sqrt {2} \ mapsto – \ sqrt {2} [/ matemática]
[math] \ sqrt {-1} \ mapsto – \ sqrt {-1} [/ math], [math] \ sqrt {2} \ mapsto – \ sqrt {2} [/ math].

Es decir, podemos elegir intercambiar [math] \ sqrt {-1} [/ math] y [math] – \ sqrt {-1} [/ math] así como [math] \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ sqrt {-2} [/ math], pero no podemos mezclarlos. El grupo de Galois correspondiente consta de cuatro funciones:

[matemáticas] id (x) = x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sigma_1 \ left (a + b \ sqrt {-1} + c \ sqrt {2} + d \ sqrt {-2} \ right) = a – b \ sqrt {-1} + c \ sqrt { 2} – d \ sqrt {-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sigma_2 \ left (a + b \ sqrt {-1} + c \ sqrt {2} + d \ sqrt {-2} \ right) = a + b \ sqrt {-1} – c \ sqrt { 2} – d \ sqrt {-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sigma_3 \ left (a + b \ sqrt {-1} + c \ sqrt {2} + d \ sqrt {-2} \ right) = a – b \ sqrt {-1} – c \ sqrt { 2} + d \ sqrt {-2} [/ matemáticas].

Muy bien, un último ejemplo. Consideremos el polinomio [matemática] P (X) = X ^ 4 + X ^ 3 + X ^ 2 + X + 1 [/ matemática]. No tiene raíces reales y no tiene factor como en el ejemplo anterior. Sin embargo, hay un truco útil para descubrir cuáles son sus raíces.

Tenga en cuenta que [matemáticas] (X – 1) P (X) = X ^ 5 – 1 [/ matemáticas]. Las raíces de este polinomio son todas las quintas raíces de la unidad, que podríamos escribir como [matemáticas] 1, e ^ {2 \ pi i / 5}, e ^ {4 \ pi i / 5}, e ^ {6 \ pi i / 5}, e ^ {8 \ pi i / 5} [/ math]. Sin embargo, las raíces de [matemáticas] P (X) [/ matemáticas] deben ser este mismo conjunto, excluyendo [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Si escribimos [matemáticas] \ zeta = e ^ {2 \ pi i / 5} [/ matemáticas], entonces podemos escribir

[matemáticas] P (X) = (X – \ zeta) (X – \ zeta ^ 2) (X – \ zeta ^ 3) (X – \ zeta ^ 4) [/ matemáticas].

Por lo tanto, se deduce que el campo de división de [math] P (X) [/ math] es el campo [math] \ mathbb {Q} (\ zeta) [/ math], que consiste en todo de la forma

[matemática] a + b \ zeta + c \ zeta ^ 2 + d \ zeta ^ 3 [/ matemática], donde [matemática] a, b, c, d [/ matemática] son racionales.

(Quizás se pregunte por qué no existe también un término [matemática] e \ zeta ^ 4 [/ matemática]. La razón es simple: [matemática] \ zeta ^ 4 = -1 – \ zeta – \ zeta ^ 2 – \ zeta ^ 3 [/ math], por lo que en realidad no agrega nada nuevo).

De nuevo, hay [matemáticas] 4! = 24 [/ matemáticas] posibles permutaciones de las raíces, pero la mayoría de ellas no corresponderán a automorfismos. De hecho, observe que si [math] \ sigma (\ zeta) = \ zeta ^ p [/ math], entonces [math] \ sigma (\ zeta ^ q) = \ sigma (\ zeta) ^ q = \ zeta ^ { pq} [/ matemáticas]. Es decir, si especificamos dónde enviamos [math] \ zeta [/ math], eso determina por completo dónde se moverán las otras raíces.

Entonces se puede verificar que

[matemáticas] \ sigma \ left (a + b \ zeta + c \ zeta ^ 2 + d \ zeta ^ 3 \ right) = a + b \ zeta ^ 2 + c \ zeta ^ 4 + d \ zeta ^ 6 = ( a – c) + (d – c) \ zeta + (b – c) \ zeta ^ 2 – c \ zeta ^ 3 [/ matemática]

Es un automorfismo. Además tenemos que

[matemáticas] \ sigma (\ sigma (\ zeta)) = \ zeta ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sigma (\ sigma (\ sigma (\ zeta))) = \ zeta ^ 8 = \ zeta ^ 5 \ zeta ^ 3 = \ zeta ^ 3 [/ math]

y entonces vemos que cada posibilidad [math] \ zeta \ mapsto \ zeta ^ p [/ math] corresponde a un automorfismo. Es decir, el grupo de Galois en este caso consta de cuatro funciones: [math] id, \ sigma, \ sigma ^ 2, \ sigma ^ 3 [/ math] (en este contexto, [math] \ sigma ^ 2 (x) = \ sigma (\ sigma (x)) [/ math]).

En cada uno de los ejemplos anteriores, el tamaño del grupo de Galois siempre fue igual al grado del polinomio. Sin embargo, este no es generalmente el caso: si [matemáticas] n [/ matemáticas] es el grado, ¡el grupo de Galois puede ser tan grande como [matemáticas] n! [/matemáticas]. No he incluido un ejemplo así simplemente porque es difícil probarlo sin apelar al teorema fundamental de la teoría de Galois. Si se me ocurre un ejemplo simple, podría volver y modificar esta respuesta.

Por otro lado, la teoría de Galois es muy rica y la mejor manera de aprenderla es hacer muchos ejemplos usted mismo.

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