Deje que las cantidades que se miden sean x e y. Supongamos que las incertidumbres absolutas son [matemáticas] \ delta x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ delta y [/ matemáticas]. Son positivos Entonces los valores medidos de x e y son [matemática] x \ pm \ delta x [/ matemática], y [matemática] y \ pm \ delta y [/ matemática].
Ahora consideremos la suma de las dos cantidades. El valor máximo de la suma es [math] (x + \ delta x) + (y + \ delta y) = x + y + (\ delta x + \ delta y) [/ math] y el valor mínimo es [math] (x- \ delta x) + (y- \ delta y) = x + y – (\ delta x + \ delta y) [/ math]. Entonces, la suma de las cantidades medidas es [matemática] (x + y) \ pm (\ delta x + \ delta y) [/ matemática]. La incertidumbre absoluta en la suma es [matemática] \ delta x + \ delta y [/ matemática].
Si observamos la diferencia de las dos cantidades, entonces, el valor máximo de la diferencia es [matemática] (x + \ delta x) – (y- \ delta y) = x-y + (\ delta x + \ delta y) [ / math], y el valor mínimo es [math] (x- \ delta x) – (y + \ delta y) = xy – (\ delta x + \ delta y) [/ math]. Por lo tanto, la diferencia de las cantidades medidas es [matemática] (xy) \ pm (\ delta x + \ delta y). [/ Matemática] La incertidumbre absoluta en la diferencia es [matemática] \ delta x + \ delta y. [/ Matemática ]
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Ahora, [matemáticas] x \ pm \ delta x = x (1 \ pm \ frac {\ delta x} {x}) = x (1 \ pm \ frac {\ delta x} {| x |}) [/ math ] Del mismo modo, [matemáticas] y \ pm \ delta y = y (1 \ pm \ frac {\ delta y} {y}) = y (1 \ pm \ frac {\ delta y} {| y |}) [/ math ] El valor máximo del producto es [matemática] x (1+ \ frac {\ delta x} {| x |}) y ((1+ \ frac {\ delta y} {| y |}) = xy (1+ \ frac {\ delta x} {| x |} + \ frac {\ delta y} {| y |}) [/ math]. El valor mínimo del producto es [math] x (1- \ frac {\ delta x} {| x |}) y ((1- \ frac {\ delta y} {| y |}) = xy (1- \ frac {\ delta x} {x} – \ frac {\ delta y} { y}) [/ math]. Entonces el producto es [math] xy (1 \ pm (\ frac {\ delta x} {x} + \ frac {\ delta y} {y}) = xy (1 \ pm \ frac {\ delta (xy)} {| xy |}) [/ math], donde [math] \ frac {\ delta (xy)} {| xy |} = \ frac {\ delta x} {| x |} + \ frac {\ delta y} {| y |} [/ math] es la incertidumbre fraccional en xy.
El valor máximo del cociente es [matemáticas] \ frac {x (1+ \ frac {\ delta x} {| x |})} {y (1- \ frac {\ delta y} {| y |})} = \ frac {x} {y} (1+ \ frac {\ delta x} {| x |}) ((1+ \ frac {\ delta y} {| y |}) [/ math], por el binomio teorema: el valor mínimo del cociente es [matemáticas] \ frac {x (1- \ frac {\ delta x} {| x |})} {y (1+ \ frac {\ delta y} {| y |} )} = \ frac {x} {y} (1- \ frac {\ delta x} {| x |}) ((1- \ frac {\ delta y} {| y |}) [/ math], nuevamente por expansión binomial: a partir de los valores mínimos y máximos del cociente se puede demostrar que la incertidumbre fraccional, por el mismo método para el producto, también es [matemática] \ frac {\ delta x} {| x |} + \ frac { \ delta y} {| y |}. [/ math]
