Todo lo que necesita saber son los valores de registro naturales de algunos números primos y algunas propiedades matemáticas fundamentales de los logaritmos. Con estos datos básicos puede estimar de manera aproximada, pero con bastante precisión, los registros con lápiz y papel.
Preliminar: valores de logaritmo clave
El primer aspecto de este método es memorizar los logaritmos naturales de los primeros números primos.
Ln (2) = 0,6931
Ln (3) = 1.0986
Ln (5) = 1.6094
Ln (7) = 1.9459
Ln (11) = 2,3979
Conociendo estos cinco valores junto con la regla de reducción, que se explica a continuación, puede calcular una estimación aproximada del registro natural de cualquier número.
Preliminar: reducción y límites superior / inferior
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El segundo aspecto del método es usar las propiedades de los registros para convertir expresiones difíciles en expresiones fáciles. Las fórmulas cruciales son
Ln (A * B) = Ln (A) + Ln (B)
Ln (A / B) = Ln (A) – Ln (B)
Ln (A ^ C) = C * Ln (A)
Si se le da un número N y sabe que N es mayor que A y menor que B, entonces también sabe que Ln (N) es mayor que Ln (A) y menor que Ln (B). Esto se debe a que la función y = Ln (x) es monotónica y está en aumento.
Si N está a medio camino entre A y B, entonces Ln (N) está aproximadamente a medio camino entre Ln (A) y Ln (B). Del mismo modo, si N es 1/3 del camino entre A y B, Ln (N) es aproximadamente 1/3 del camino entre Ln (A) y Ln (B). Por lo tanto, la clave es encontrar valores de A y B cuyo logaritmo natural conozca (por factorización y reducción), y luego usar el promedio ponderado apropiado para estimar Ln (N).
La fórmula de estimación
Dado un valor de N cuyo registro natural desea calcular, todo lo que tiene que hacer es encontrar dos valores A y B de modo que N = (A + B) / 2, es decir, N esté a medio camino entre A y B. Luego
Ln (N) ≈ [Ln (A) + Ln (B)] / 2
El truco consiste en encontrar valores de A y B de manera que se conozcan Ln (A) y Ln (B) utilizando las fórmulas de reducción y los cinco valores de registro clave. En otras palabras, cuando calcula la factorización prima de A y B, los únicos factores primos que desea encontrar son 2, 3, 5, 7 u 11.
Ejemplo 1: Ln (13)
Para estimar el registro natural de 13, observamos que 13 está a medio camino entre 12 y 14. Los registros naturales de 12 y 14 se pueden calcular utilizando los cinco valores clave y las fórmulas de reducción.
Ln (12) = Ln (2 * 2 * 3) = 2 * Ln (2) + Ln (3) = 2 * 0.6931 + 1.0986 = 2.4848
Ln (14) = Ln (2 * 7) = Ln (2) + Ln (7) = 0.6931 + 1.9459 = 2.6390
Ahora tenemos
Ln (13) ≈ [2.4848 + 2.6390] / 2 = 2.5619
Y si evalúa Ln (13) directamente en una calculadora, obtiene 2.5649, por lo que la estimación anterior es precisa con dos decimales.
Ejemplo 2: Ln (7.19)
Desde 7.19 = 719/100, tenemos
Ln (7.19) = Ln (719) – Ln (100) = Ln (719) – Ln (2 * 2 * 5 * 5) = Ln (719) – 2 * Ln (2) – 2 * Ln (5) = Ln (719) – 2 * 0.6931 – 2 * 1.6094 = Ln (719) – 4.6050
Ahora solo tenemos que estimar Ln (719). Dos límites obvios son 700 y 720, los cuales son fácilmente factorizables. Esto nos da
Ln (720) = Ln (2 ^ 4 * 3 ^ 2 * 5) = 4 * Ln (2) + 2 * Ln (3) + Ln (5) = 4 * 0.6931 + 2 * 1.0986 + 1.6094 = 6.5790
Ln (700) = Ln (2 ^ 2 * 5 ^ 2 * 7) = 2 * Ln (2) + 2 * Ln (5) + Ln (7) = 2 * 0.6931 + 2 * 1.6094 + 1.9459 = 6.5509
Como 719 está mucho más cerca de 720 que de 700, el promedio ponderado apropiado es
Ln (719) ≈ [19 * Ln (720) + 1 * Ln (700)] / 20 = (19 * 6.5790 + 1 * 6.5509) / 20 = 6.5776
Y finalmente,
Ln (7.19) = Ln (719) – Ln (100) ≈ 6.5776 – 4.6050 = 1.9726
En una calculadora puede ver que Ln (7.19) = 1.9727, por lo que esta estimación es muy precisa y no requiere nada más que suma, resta y multiplicación.
Ejemplo 3: Ln (460)
Como la factorización prima de 460 es 2 * 2 * 5 * 23, tenemos
Ln (460) = 2 * Ln (2) + Ln (5) + Ln (23) = 2 * 0.6931 + 1.6094 + Ln (23) = 2.9956 + Ln (23)
Ahora solo tenemos que estimar el logaritmo natural de 23. Dado que 23 está a medio camino entre 22 y 24, estos establecerán límites excelentes para derivar una estimación lineal.
Ln (22) = Ln (2 * 11) = Ln (2) + Ln (11) = 0.6931 + 2.3979 = 3.0910
Ln (24) = Ln (2 ^ 3 * 3) = 3 * Ln (2) + Ln (3) = 3 * 0.6931 + 1.0986 = 3.1779
Y ahora podemos estimar Ln (23) con
Ln (23) ≈ [Ln (22) + Ln (24)] / 2 = (3.0910 + 3.1779) / 2 = 3.1345
Finalmente, conectar esta estimación a la expresión para Ln (460) nos da
Ln (460) ≈ 2.9956 + 3.1345 = 6.1301
Con una calculadora obtenemos Ln (460) = 6.1312, por lo que nuestra estimación anterior es precisa con dos decimales.
