Sigamos con los espacios de Hausdorff por el momento; La intuición detrás de, por ejemplo, los espacios Zariski es bastante diferente.
Pienso en términos de barrios. Un vecindario es el conjunto de todos los puntos ‘lo suficientemente cerca’ de uno determinado.
Un conjunto abierto es uno que es un vecindario de todos sus puntos, por lo que si comienza en algún lugar del conjunto y permanece “lo suficientemente cerca” de ese punto, permanece en el conjunto. (Lo que constituye “lo suficientemente cerca” depende del punto en el que comenzó).
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Un conjunto cerrado es el complemento de un conjunto abierto, por lo que si se acerca a un punto fuera del conjunto cerrado, en algún momento debe abandonar el conjunto cerrado.
Un hecho básico en la topología es que cada subconjunto tiene un subconjunto abierto más grande (su interior) y un subconjunto cerrado más pequeño que lo contiene (su cierre). La diferencia entre los dos se llama límite, aunque encuentro esta terminología un poco engañosa en este nivel de generalidad. El concepto de ‘límite’ es algo que divide un espacio en un ‘interior’ y un ‘exterior’ no es equivalente a la definición topológica general de la palabra, y es sorprendentemente complicado formalizarlo incluso para [math] \ mathbb {R } ^ n [/ matemáticas]. Es mejor pensar en el límite topológico como el conjunto de puntos, cuyos vecindarios se encuentran en parte en el conjunto y en parte en su complemento.
Los conjuntos cerrados no deben confundirse con los conjuntos * completos * y * compactos *, que son nociones más fuertes en el contexto de Hausdorff. Estar cerrado es solo una propiedad relativa: si [matemática] Y [/ matemática] está cerrada en [matemática] X [/ matemática], eso significa cada punto de acumulación * en [matemática] X [/ matemática] * de [matemática] Y [/ math] está en sí mismo en [math] Y [/ math]. Entonces, por ejemplo, el conjunto [math] \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x ^ 2 <2 \} [/ math] está abierto y cerrado en [math] \ mathbb {Q} [/ math] , pero dentro de [math] \ mathbb {R} [/ math] no está abierto ni cerrado. La integridad y la compacidad son propiedades intrínsecas de un espacio (aunque en el caso de la integridad, solo tiene sentido para espacios uniformes), afirmando que los puntos de acumulación existen bajo ciertas circunstancias razonables. Dicho esto, la integridad y la compacidad son heredadas por subconjuntos cerrados y solo por subconjuntos cerrados, por lo que en algunos contextos 'subconjunto cerrado', 'subconjunto completo' y 'subconjunto compacto' terminan siendo sinónimos.
