Abordemos primero la pregunta del titular. Sí, una onda esférica se puede expandir como una suma de ondas planas, y viceversa. La expansión de la onda plana de una onda esférica es sorprendentemente difícil de encontrar en la web. Tienes que volver a un viejo documento escrito (en alemán) por Hermann Weyl en 1919 en el que demuestra, [1]
[matemáticas] \ frac {e ^ {ikr}} {ikr} = \ frac {1} {2 \ pi} \ iint d \ omega \ e ^ {ik (ux + vy + wz)} [/ math]
donde [math] k = 2 \ pi / \ lambda [/ math] es el número de onda, [math] \ lambda [/ math] es la longitud de onda y [math] r [/ math] es la distancia desde el origen de la onda . La integral se toma sobre la unidad de esfera [math] \ sqrt {u ^ 2 + v ^ 2 + w ^ 2} = 1 [/ math] y [math] d \ omega [/ math] es el elemento de superficie diferencial en ese esfera. De manera más general, cualquier onda de propagación esférica se puede escribir como una combinación lineal de funciones esféricas de Bessel,
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[matemáticas] j_n (kr) = \ textrm {Re} \ (-r) ^ n \ left (\ frac {1} {kr} \ frac {d} {dr} \ right) ^ n \ frac {e ^ { ikr}} {ikr} [/ math]
[matemáticas] y_n (kr) = \ textrm {Im} \ (-r) ^ n \ left (\ frac {1} {kr} \ frac {d} {dr} \ right) ^ n \ frac {e ^ { ikr}} {ikr} [/ math]
Luego, en principio, puede conectar la integral anterior en estas expresiones para obtener la expansión de onda plana de cada función esférica de Bessel y, a su vez, obtener la expansión de onda plana de una onda esférica más general.
Ahora, las preguntas en los detalles.
Cuando decimos que cualquier onda arbitraria puede descomponerse en una suma de ondas sinusoidales por la transformada de Fourier, ¿queremos decir que podemos reconstruir todas las ondas con ondas planas?
Sí, el conjunto de senos y cosenos (o, de manera equivalente, las funciones exponenciales complejas) forman un conjunto de bases completo, a partir del cual puede construir casi cualquier otra función.
¿Cuál es la diferencia entre las ondas sinusoidales y las ondas planas?
Ambas son ondas compuestas de una combinación de un seno y / o coseno con una sola frecuencia, por ejemplo, [matemática] \ cos (x) [/ matemática] que tiene la frecuencia única [matemática] k [/ matemática] = 1. Una onda sinusoidal generalmente se considera de valor real (pero no necesariamente), mientras que una onda plana puede ser de valor complejo. Además, una onda plana solo tiene sentido en dos dimensiones o más. Se llama así porque corresponden a una onda cuyo frente de onda es plano o plano (aunque ciertamente es posible tener una onda que contenga muchas frecuencias cuyo frente de onda también sea plano, pero esto generalmente no se conoce como onda plana).
Notas al pie
[1] Ausbreitung elektromagnetischer Wellen über einem ebenen Leiter
