No, no es que se me ocurra. El Principio de incertidumbre de Heisenberg se debe a que la posición y el impulso no “conmutan”.
En la mecánica cuántica hay una cosa llamada conmutador. El conmutador de dos cantidades se escribe [matemática] [A, B] [/ matemática] y significa [matemática] AB-BA [/ matemática].
¡Pero espera!
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A la multiplicación no le importa en qué orden lo hagas. [Matemáticas] 4 \ veces 5 [/ matemáticas] es lo mismo que [matemáticas] 5 \ veces 4 [/ matemáticas]. Esto es 100% cierto.
Para las matrices, sin embargo, el orden sí importa. Por cierto, en la mecánica cuántica, las cantidades medibles están representadas por matrices generalmente llamadas operadores.
Hay algunas matrices donde [matemáticas] [A, B] = 0 [/ matemáticas], por lo que el orden no importa. Se dice que estas matrices conmutan. Los operadores que viajan diariamente no tienen un principio de incertidumbre involucrado en la medición de ambos.
Tanto la posición como el momento están representados por operadores que no conmutan. El principio general de incertidumbre para dos operadores [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] es
[matemáticas] ΔAΔB \ geq \ dfrac {1} {2} \ big [/ math],
donde [math] ΔA / ΔB [/ math] significa incertidumbre, las barras [math] || [/ math] significan el valor absoluto y los corchetes [math] \ big [/ math] promedio promedio.
Se puede encontrar a través de los principios de la mecánica cuántica que la posición [matemática] X [/ matemática] y el momento [matemática] P [/ matemática] del conmutador de operadores es [matemática] [X, P] = i \ hbar [/ matemática ] donde [matemáticas] i = \ sqrt {-1} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ hbar = \ frac {h} {2π} [/ matemáticas].
Si conecta [matemática] X [/ matemática] para [matemática] A [/ matemática] y [matemática] P [/ matemática] para [matemática] B [/ matemática] obtendrá
[matemáticas] ΔXΔP \ geq \ dfrac {1} {2} \ big [/ math]
El valor absoluto de [matemática] i = 1 [/ matemática] entonces [matemática] | i \ hbar | = \ hbar [/ matemática] y el promedio de [matemática] \ hbar [/ matemática] es [matemática] \ hbar [ / math] porque es solo un número. Entonces tienes
[matemáticas] ΔXΔP \ geq \ dfrac {\ hbar} {2} [/ matemáticas].
Para ser justos, el infinito entra en juego cuando intentas encontrar matrices de posición y momento que satisfagan la relación de conmutación [matemáticas] [X, P] = i \ hbar [/ matemáticas]. Como resultado, ¡las únicas matrices que satisfacen esto son infinitamente dimensionales! (Nunca he intentado esto, pero lo vi en una conferencia MIT OCW 8.04)
