[matemática] L ^ 2 [/ matemática] no tiene el mismo conjunto de funciones propias que [matemática] L_x [/ matemática], [matemática] L_y [/ matemática] o [matemática] L_z [/ matemática]. Es decir, hay funciones que son funciones propias de [math] L ^ 2 [/ math] y [math] L_z [/ math], pero también hay funciones que son funciones propias de [math] L ^ 2 [/ math] solo o [matemáticas] L_z [/ matemáticas] solo.
Lo que es cierto es que [matemática] L ^ 2 [/ matemática] y [matemática] L_z [/ matemática] son simultáneamente diagonalizables . Esto garantiza que aunque no tengan el mismo conjunto de funciones propias, podemos tomar el conjunto de funciones que son funciones propias de ambas, y de ellas podemos seleccionar una base ortonormal para el espacio de Hilbert.
Los armónicos esféricos tienen esta propiedad. La función [matemática] Y ^ m_ \ ell (\ theta, \ phi) [/ matemática] es una función propia de [matemática] L_z [/ matemática] con valor propio [matemática] \ hbar m [/ matemática] y una función propia de [ matemática] L ^ 2 [/ matemática] con valor propio [matemática] \ hbar ^ 2 \ ell (\ ell + 1) [/ matemática]. Tenga en cuenta que si combina armónicos esféricos con los mismos valores [math] \ ell [/ math] pero diferentes valores [math] m [/ math], obtendrá algo que sigue siendo una función propia de [math] L ^ 2 [/ math ] pero no [matemáticas] L_z [/ matemáticas]. Del mismo modo, si combina armónicos esféricos con los mismos valores [matemáticos] m [/ matemáticos] pero diferentes valores [matemáticos] \ ell [/ matemáticos], obtendrá algo que sigue siendo una función propia de [matemáticos] L_z [/ matemáticos] pero no [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas].
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Si consideramos el par [matemática] L ^ 2 [/ matemática] y [matemática] L_x [/ matemática] entonces tenemos la misma historia: no tienen el mismo conjunto de funciones propias pero son diagonalizables simultáneamente y podemos usar sus funciones propias simultáneas como base. Lo mismo ocurre con el par [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] L_y [/ matemáticas]. Usualmente usamos [matemática] L ^ 2 [/ matemática] y [matemática] L_z [/ matemática] porque porque elegimos el eje z como eje polar en coordenadas polares esféricas, y esto simplifica las cosas.
Sin embargo, si toma [math] L_z [/ math] junto con [math] L_x [/ math] o [math] L_y [/ math], o [math] L_x [/ math] y [math] L_y [/ matemáticas] juntas, las únicas funciones propias simultáneas son las funciones constantes, que claramente no abarcan el espacio de Hilbert. Por lo tanto, estos pares de observables son incompatibles (no conmutar).
