Las otras respuestas aquí son en su mayoría correctas, ya que el operador de velocidad a menudo es simplemente el operador de impulso [math] \ hat {p} = -i \ hbar \ nabla [/ math] dividido por [math] m [/ math]. Daré una descripción más general.
Físicamente, la velocidad es la tasa de cambio de la posición con respecto al tiempo,
[matemática] v = \ frac {\ parcial x (t)} {\ parcial t} = \ dot {x} [/ matemática]
- ¿Cuál es la diferencia entre medición cualitativa y medición cuantitativa?
- ¿Está toda la materia en el universo enredada cuánticamente?
- ¿Es la interpretación de muchos mundos de QM determinista?
- ¿Cómo interpretan los físicos los resultados del experimento de doble rendija?
- ¿Crees que podríamos hacer dispositivos de teletransportación con entrelazamiento cuántico?
Cuando [math] x [/ math] es simplemente una función real de tiempo, esto es fácil de interpretar. Sin embargo, en mecánica cuántica la posición se convierte en un operador (básicamente, una matriz), [math] x \ rightarrow \ hat {x} [/ math]. Entonces, ¿cómo tomamos el tiempo derivado de este operador? Para eso, debemos considerar la dependencia del tiempo del sistema cuántico, que se describe por la función de onda. La función de onda obedece la ecuación de Schrödinger,
[matemáticas] i \ hbar \ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial t} = \ hat {H} \ psi (x, t) [/ math]
Ahora, el valor esperado de la posición es
[matemáticas] \ langle \ hat {x} \ rangle = \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {x} \ psi (x, t) [/ math]
Podemos interpretar la derivada del tiempo de esto como la velocidad promedio,
[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial t} \ langle \ hat {x} \ rangle = \ langle \ hat {v} \ rangle = \ frac {\ partial} {\ partial t} \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {x} \ psi (x, t) [/ math]
Tomando la derivada dentro de la integral,
[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial t} \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {x} \ psi (x, t) = \ int dx \ \ frac {\ partial \ psi ^ * (x, t)} {\ partial t} \ hat {x} \ psi (x, t) + \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {x} \ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ parcial t} [/ matemáticas]
Entonces podemos usar la ecuación de Schrödinger,
[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial t} \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {x} \ psi (x, t) = – \ int dx \ \ psi ^ * ( x, t) \ frac {\ hat {H}} {i \ hbar} \ hat {x} \ psi (x, t) + \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {x} \ frac {\ hat {H}} {i \ hbar} \ psi (x, t) [/ math]
o
[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial t} \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) \ hat {x} \ psi (x, t) = \ frac {1} {i \ hbar} \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) [\ hat {x}, \ hat {H}] \ psi (x, t) [/ math]
donde [math] [,] [/ math] es el conmutador. Entonces, finalmente tenemos que la velocidad promedio está relacionada con el conmutador entre la posición y el hamiltoniano (este es en realidad el teorema de Ehrenfest).
[matemáticas] \ langle \ hat {v} \ rangle = \ frac {1} {i \ hbar} \ int dx \ \ psi ^ * (x, t) [\ hat {x}, \ hat {H}] \ psi (x, t) [/ matemáticas]
Debido a que esto es cierto para cualquier función de onda y, por lo tanto, para cualquier sistema, podemos interpretar el operador de velocidad como
[matemáticas] \ hat {v} = \ frac {1} {i \ hbar} [\ hat {x}, \ hat {H}] [/ math]
Por supuesto, usando la relación de conmutación canónica, [matemáticas] [x, p] = i \ hbar [/ matemáticas], si el hamiltoniano es de la forma,
[matemáticas] H = \ frac {\ hat {p} ^ 2} {2m} + V (\ hat {x}) [/ matemáticas]
entonces uno encuentra
[matemáticas] \ hat {v} = \ frac {1} {i \ hbar} [\ hat {x}, \ frac {\ hat {p} ^ 2} {2m}] = \ frac {\ hat {p} } {m} [/ matemáticas]
que es lo que las otras respuestas han mencionado.
