Como me preguntaron sobre esta pregunta, intentaré una respuesta. Tenga en cuenta que no soy un teórico de números, por lo que debe leer mis argumentos con cuidado y crítica.
Primero he tratado de descubrir qué es una “pseudoprima de Fermat”.
De wikipedia
Pseudoprima fermat
y de
- ¿Cómo se usan las matemáticas en el fútbol (soccer)?
- ¿Es posible expandir [matemáticas] (a + b) ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemáticas]?
- ¿Tenemos alguna prueba de que nuestras matemáticas son correctas?
- Cómo calcular números primos realmente grandes
- ¿Qué es IP Math?
Richard Crandall, Carl B. Pomerance “Números primos. Una perspectiva computacional”, 2e, Springer, 2010, isbn: 978144192050,
nos encontramos con que la noción “pseudoprima de Fermat” es un poco ambigua … la noción correcta parece ser “base de una pseudoprima de Fermat” que significa:
n es una “base a pseudoprime Fermat” si n es un número compuesto y (aⁿ-a) ⋮ n
También he encontrado algunas variaciones de esta definición, pero esta parece ser generalmente aceptada.
También puede observar que, para un número general, el problema parece ser mucho más general y no voy a tratar de solucionarlo.
Consideraré la pregunta para “pseudoprime base 2 Fermat”. Con estos preparativos, la pregunta ahora se ve así:
“Si (2 ^ {x} -1) es una pseudoprima Fermat base 2, ¿es una pseudoprima Fermat base 2?”
En otras palabras:
Si
(2 ^ {2 ^ {x} – 1} – 2) ⋮ (2 ^ {x} – 1)
Luego
? (2 ^ {x} – 1) ⋮ x?
Suponga (por contradicción) que (2 ^ {x} – 1) es un múltiplo de x, digamos
(2 ^ {x} – 1) = kx
Luego
2 ^ {2 ^ {x} -1} -2 = 2 ^ {kx} -2 = (2 ^ {x}) ^ {k} -1-1 = (2 ^ {x} -1) (…) – 1 lo que significa que el número
2 ^ {2 ^ {x} -1} -2 es un múltiplo de (2 ^ {x} -1) menos 1; que solo ocurre cuando (2 ^ {x} -1) divide 1 o -1, es decir, x = 1 puede ser la única solución.
Entonces, para x ≠ 1, encontramos una contradicción con la suposición de que (2 ^ {2 ^ {x} – 1} – 2) ⋮ (2 ^ {x} – 1)
La conclusión es:
“Si x ≠ 1 y (2 ^ {x} -1) es una pseudoprima de Fermat base 2, entonces x no es una pseudoprima de Fermat base 2”.
Espero que haya ayudado … y estoy esperando comentarios y fallas … 🙂
