De mi comentario:
La familia más fácil de soluciones que veo es cuando todos los coeficientes son cero, excepto uno, que es un cuadrado. P.ej
a = 9, b = c = 0
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Editar: un programa que escribí confirma esto y sugiere que estas son, de hecho, las únicas soluciones … [salida del programa aquí]
Regreso con una prueba!
Primero, consideremos [math] ax ^ 2 + c [/ math], y veamos qué valores enteros de a y c esta expresión es siempre un cuadrado. Primero, tenga en cuenta que ambos parámetros deben ser positivos, de lo contrario, podemos forzar que la expresión sea negativa eligiendo los valores apropiados de x. Segunda nota que c siempre debe ser un cuadrado (de hecho, llamémoslo [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas] de ahora en adelante)
Sea [math] n (x) ^ 2 = ax ^ 2 + c ^ 2 [/ math].
Primero, tenga en cuenta que [matemáticas] n (0) = c ^ 2 [/ matemáticas]. Segunda nota que [math] n (x + 1) – n (x) = a (2x + 1) [/ math], que siempre es positivo (volveremos a eso).
Ahora supongamos (por contradicción) que a> 0 yc> 0. Entonces sucede algo interesante cuando x = c: [matemáticas] n (c) = ac ^ 2 + c ^ 2 = (a + 1) c ^ 2 [ /matemáticas].
Para que esto sea un cuadrado, [math] a + 1 [/ math] debe ser cuadrado, por lo que podemos sustituir [math] a = k ^ 2 – 1 [/ math] (para algunos enteros k). Pero solo hay un cuadrado que está 1 debajo de otro cuadrado: 0. Por lo tanto, a = 0, lo cual es una contradicción (asumimos a> 0)
Esto es (como uno podría imaginar) totalmente relevante para nuestra discusión de [matemáticas] m (x) = ax ^ 2 + por ^ 2 + c [/ matemáticas], porque este es solo un caso general de [matemáticas] n (x ) = ax ^ 2 + c [/ math] – en particular, el caso cuando y = 0. Y si no hay enteros (a, c) tales que (a> 0, c> 0) y [math] \ forall_x ax ^ 2 + c [/ math] es cuadrado, entonces ciertamente no existen tales números enteros cuando agrega las restricciones adicionales implicadas al variar también “y”.
Entonces hemos demostrado
- si c> 0, a = 0
- si a> 0, c = 0
Y por simetría
- si c> 0, b = 0
- si b> 0, c = 0
No hemos probado que
- si a> 0, b = 0
- si b> 0, a = 0
Pero si a> 0, entonces c = 0, entonces [matemática] m (x, y) = ax ^ 2 + por ^ 2 [/ matemática], y cuando y = 1 esto se reduce al problema original de [matemática] ax ^ 2 + c [/ matemáticas], donde [matemáticas] c = b [/ matemáticas]. El segundo punto se demuestra de la misma manera, pero dejando x = 1 y [matemáticas] c = a [/ matemáticas].
