¿Cuál es la herramienta más poderosa?
¿Un martillo? Ciertamente es omnipresente, y es difícil imaginar cómo podría haber evolucionado la tecnología moderna sin haber inventado nada parecido a un martillo. Se encuentra en el corazón de todo lo que se ha construido.
¿Una grúa de construcción? Definitivamente es más poderoso que un martillo, pero sus usos también son algo más limitados.
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¿Una tuneladora ? Las grandes hacen que la mayoría de las grúas de construcción parezcan juguetes patéticos, por lo que sin duda son más “poderosas” que otras herramientas. Pero su alcance ahora está aún más limitado: si necesita cavar un túnel masivo, use uno, pero un simple martillo puede ayudarlo con miles de otras tareas.
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Mi punto, como espero sea obvio, es que “el más poderoso” es un adjetivo sin sentido. También estoy tratando de señalar que “herramienta” es un término muy amplio con límites muy confusos (¿es un clavo una herramienta? ¿Es realmente una TBM una?). Lo mismo ocurre con las matemáticas: ¿es el principio de Pigeonhole un “lema”, o simplemente una idea? Obviamente es poderoso, pero ni siquiera es obvio cómo determinar cuándo se está utilizando exactamente. ¿Qué pasa con la idea de la inducción matemática? Formalmente es un axioma de la aritmética, pero tiene muchas formas que en los libros de lógica se llamarían lemas o proposiciones. Al final, son los axiomas los que ejercen todo el poder; Los resultados básicos (a menudo, esos son lemas) son solo las cosas que se derivan más fácilmente de los axiomas, y los resultados complejos (a menudo, los teoremas) son aquellos que requieren más trabajo.
Las ideas fundamentales como la inducción o el lema de Zorn son los martillos, tal vez incluso los proto-martillos. Ejemplos de grúas de construcción más avanzadas son el Teorema de Minimax, el teorema del valor intermedio o el teorema integral de Cauchy. Avanzando, encontrará cosas como el lema de regularidad de Szemerédi, un teorema profundo que resultó ser útil en una variedad de aplicaciones dentro y fuera de la teoría de grafos (fue desarrollado originalmente para probar una declaración sobre la inevitabilidad de las progresiones aritméticas).
Una declaración que es quizás simultáneamente un martillo y un cohete es la Clasificación de grupos simples finitos. Es innegablemente poderoso en su dominio (teoría de grupo finito) y su prueba es inimaginablemente compleja. Si aclaramos la pregunta, puede terminar siendo un fuerte contendiente.
Entonces, ¿cuál es más poderoso, el teorema de la función implícita o el teorema de Faltings?
