En física, las cantidades conservadas son extremadamente importantes, y saber qué cantidades se conservan en los sistemas físicos puede decirle mucho sobre ellas. En resumen, una cantidad conservada es una cantidad cuyo valor no cambia con el tiempo.
Las cantidades conservadas más comúnmente conocidas son energía e impulso . Gracias a un hermoso teorema del gran físico Emmy Noether , sabemos que si la física de un sistema dado no cambia bajo un cambio particular en las variables subyacentes, habrá una cantidad conservada correspondiente. Llamamos a tales transformaciones, que no cambian la física de un sistema, simetrías.
Demos algunos ejemplos simples. Si tomo un sistema físico simple, como una partícula puntual masiva, resulta que la dinámica no depende de dónde está la partícula. En otras palabras, si coloco la partícula aquí o allá, la partícula se comporta de la misma manera. Formalmente, lo que estamos haciendo es cambiar las coordenadas x a algunas coordenadas nuevas [matemáticas] x \ flecha derecha x + \ delta x [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ delta x [/ matemáticas] solo significa “un pequeño cambio en la coordenada x “ .
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Ahora, debido a que la física de este sistema no cambia cuando hago esto, esta transformación se llama simetría del sistema y, según el teorema de Noether, hay una cantidad conservada correspondiente y la cantidad en este caso es exactamente el momento de la partícula! Esto lleva generalmente a lo siguiente:
Para los sistemas físicos que no dependen de las posiciones de los objetos, se conserva el impulso.
Ok, hay un ejemplo, pero hay otro. Suponga que la física de algún sistema (¡otra vez, podríamos considerar la partícula masiva nuevamente!) No solo depende de dónde está la partícula, sino también de cuándo está la partícula. En otras palabras, podríamos cambiar ligeramente el valor del tiempo actual [matemática] t \ rightarrow t + \ delta t [/ math], donde nuevamente [math] \ delta t [/ math] solo significa “un pequeño cambio en el valor del tiempo t “. Si la física no cambia, entonces esta transformación es, como antes, una simetría, ¡y ahora el teorema de Noether me dice que la energía se conserva!
Ahora hagamos las cosas un poco extrañas: si en lugar de cambiar por separado los valores de las coordenadas de tiempo y espacio, permítanme cambiar ambos al mismo tiempo, en una cantidad constante, en otras palabras, permítanme hacer ambas transformaciones [matemáticas] t \ rightarrow t + \ delta t [/ math] y [math] x \ rightarrow x + \ delta x. [/ math] Ahora, esto se pone un poco complicado porque básicamente, de alguna manera, estoy poniendo t y x en la misma posición . Tenga en cuenta que hasta ahora no estoy asumiendo la relatividad, ¡pero eso vendrá más tarde! ¡Por ahora, todo lo que digo se aplica perfectamente cuando no consideramos la relatividad en absoluto!
Bien, entonces el teorema de Noether nos dice que si la física de algún sistema (hipotético) no cambia bajo esta transformación, ¡habrá una cantidad conservada, o más bien cantidades conservadas! Resulta que uno puede expresar la respuesta del sistema a esta transformación en términos del llamado complejo energía-momento, [matemática] T [/ matemática]. para lo cual tenemos eso,
[matemáticas] \ parcial_ a T_ {ab} = 0 [/ matemáticas] (1)
Donde podemos decir [matemática] a = (0,1,2,3) [/ matemática], de modo que [matemática] x_0 = t, x_1 = x [/ matemática] etc. Las cantidades conservadas [matemática] P_a [/ matemáticas] se dan esquemáticamente de la siguiente manera,
[matemáticas] P_a = \ int dx \ T_ {0 a} [/ matemáticas] (2)
Donde básicamente estamos integrando [matemáticas] T_ {0 a} [/ matemáticas] en todo el espacio. Las cantidades (2) se conservan debido a (1). [matemática] P_0 [/ matemática] es energía, [matemática] P_1 [/ matemática] es impulso en la dirección [matemática] x [/ matemática], y así sucesivamente. Una vez más, todo esto se deriva del tratamiento de t y x en una base similar, pero crucialmente no estoy permitiendo transformaciones que los mezclen, lo cual es una diferencia crucial que aparece cuando en realidad enciendo la relatividad. Estas cantidades son componentes conservados del vector abstracto de cuatro [matemática] P_a = (P_0, P_1, P_2, P_3 [/ matemática]). Sin embargo, al observar la ecuación (2), uno ve que provienen exactamente de los componentes [matemáticos] T_ {0 a} [/ matemáticos] que usted mencionó, integrándolos en todo el espacio. En otras palabras, [math] T_ {0 a} [/ math] describe las densidades de las cantidades correspondientes [math] P_a [/ math]. Por ejemplo, [math] T_ {00} [/ math], integrado en todo el espacio, da [math] P_0 [/ math], de modo que si llamamos al último, energía, entonces podemos pensar en el primero como densidad de energía .
Pero también tenemos otras cantidades, ¿verdad? Tenemos [math] T_ {ab} [/ math] donde ni aob es igual a cero, y por supuesto tenemos [math] T_ {a 0} [/ math]. Las cabezas de relatividad pueden estar rascándose la cabeza ahora, porque están acostumbradas al hecho de que [matemáticas] T_ {ab} = T_ {ba} [/ matemáticas] en relatividad, ¡pero no es cierto en general! En general, el complejo de momento de energía no es simétrico, y en consecuencia las cantidades [matemáticas] T_ {a 0} [/ matemáticas] y [matemáticas] T_ {0 a} [/ matemáticas] son cosas físicamente distintas. Por ejemplo, uno puede interpretar las cantidades [matemáticas] T_ {0 a} [/ matemáticas] como densidades de flujo de momento, en teorías no relativistas. [math] T_ {ab} [/ math], donde a y b no son iguales a cero, describe tensiones y deformaciones espaciales. Por ejemplo, si estaba considerando una lámina de metal estirada, por ejemplo, podría haber valores distintos de cero para estas tensiones y tensiones.
