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Generadores y parámetros del grupo homogéneo de Lorentz
El vector de ángulo de eje θ y el vector de rapidez ζ son en total seis variables continuas que conforman los parámetros del grupo (en esta representación particular), y J y K son los seis generadores correspondientes del grupo. [Nb 4]
Físicamente, los generadores del grupo de Lorentz son operadores que corresponden a simetrías importantes en el espacio-tiempo: J son los generadores de rotación que corresponden al momento angular, y K son los generadores de impulso que corresponden al movimiento del sistema en el espacio-tiempo.
Los generadores de Lorentz se pueden sumar, o multiplicarse por números reales, para obtener más generadores de Lorentz. Por ejemplo,
- ¿Podrías hipotéticamente crear un horizonte de eventos, aquí en la Tierra?
- ¿Qué leyes físicas se incorporaron a la teoría de la relatividad de Einstein?
- Si la gravedad de un agujero negro es tan alta que la luz no puede escapar de ella, ¿cómo podríamos visualizarla sin que salga ningún fotón del agujero negro? Si ese es el caso, ¿son invisibles los agujeros negros?
- ¿No se tomó en serio la relatividad (Einstein) cuando se propuso por primera vez?
- Considere dos objetos sólidos masivos A y B en el universo, bastante cerca uno del otro. ambos tienen una cantidad de masa de energía perfectamente igual (100.00% de igualdad). A y B están muy lejos de los campos gravitacionales de otras masas de energía en el universo (hipotéticamente). Ahora, ¿cómo se comportan A y B de manera gravitacional, uno con respecto al otro?
Es un generador. Por lo tanto, el conjunto de todos los generadores de Lorentz
junto con las operaciones de suma y multiplicación de matrices ordinarias de una matriz por un número, forma un espacio vectorial sobre los números reales. [nb 5]
Los generadores Jx, Jy, Jz, Kx, Ky, Kz forman un conjunto base de V , y las componentes de los vectores de ángulo de eje y rapidez, θx, θy, θz, ζx, ζy, ζz , son las coordenadas de un Lorentz generador con respecto a esta base. [nb 6]
Tres de las relaciones de conmutación de los generadores de Lorentz son
donde el corchete [ A , B ] = AB – BA es una operación binaria conocida como conmutador, y las otras relaciones se pueden encontrar tomando permutaciones cíclicas de los componentes x, y, z (es decir, cambie x a y, y a z, y de z a x, repetir).
Estas relaciones de conmutación y el espacio vectorial de los generadores cumplen con la definición del álgebra de Lie (3, 1). En resumen, un álgebra de Lie se define como un espacio vectorial V sobre un campo de números, y con una operación binaria [,] (llamada corchete de Lie en este contexto) sobre los elementos del espacio vectorial, satisfaciendo los axiomas de la bilinealidad, La alternancia y la identidad de Jacob. Aquí la operación [,] es el conmutador que satisface todos estos axiomas, el espacio vectorial es el conjunto de generadores de Lorentz V como se indicó anteriormente, y el campo es el conjunto de números reales.
