Obviamente, esto depende de quiénes somos “nosotros”.
¿Somos “el público en general”? Entonces diría que no tenemos ningún motivo para preocuparnos por el axioma de elección. Podríamos interesarnos en eso, y eso es maravilloso, pero preocuparse por eso es psicótico límite.
¿Somos matemáticos? La respuesta entonces depende de qué tipo de matemáticos somos. Muchos de nosotros no debemos preocuparnos demasiado por eso, por razones que intentaré explicar, al menos en parte. Es posible que algunos de nosotros lo necesitemos, pero aún no lo hacemos. Algunos de nosotros conscientemente nos preocupamos por ello, ya sea porque estamos haciendo una investigación precisa al respecto, o porque el axioma toca cosas que nos interesan y lo encontramos algo preocupante. El sentido en el que nos preocupa es que preferiríamos desenredar con precisión cuáles de las cosas que realmente necesitamos, cuáles no y cuáles requieren algunas formas más débiles.
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Pero en su mayor parte, sinceramente, la mayoría de los matemáticos no se preocupan por AC en absoluto. Simplemente lo asumen si lo necesitan o, con mayor frecuencia, confían en cualquiera de sus consecuencias sin pestañear: cada espacio vectorial tiene una base, el producto de espacios compactos es compacto, cada gráfico tiene un árbol de expansión. Si esto es o no justificable en todos los casos es una buena pregunta, pero hay algunas razones concretas posibles.
Una justificación formal para este estado de insensibilidad es un teorema de Shoenfield que muestra que muchos tipos de enunciados matemáticos son demostrables en ZFC si y solo si son demostrables en ZF. Obviamente, este no es el caso para declaraciones como “todos los subconjuntos de la línea real son medibles”, pero es cierto para declaraciones como la Hipótesis de Riemann, la existencia de infinitos primos gemelos, el teorema de 4 colores y muchos, muchos otros. .
Por lo tanto, en general, si eres un teórico de números, un informático (P = NP es indiferente a AC), teórico de nudos o lo que sea, realmente no tienes motivos para preocuparte por AC: si tu prueba lo usa, puedes descansar aseguró que ese uso puede eliminarse, aunque posiblemente a un costo eficiente.
Tome la prueba de FLT de Wiles: nadie sabe con certeza qué suposiciones de teoría de conjuntos se requieren en la prueba. Es posible que la prueba realmente dependa de algunos axiomas cardinales grandes o de algunas cosas que exceden a ZFC. pero si FLT es un teorema de ZFC, entonces es un teorema de ZF. La elección por sí sola no es el problema aquí.
