Cómo describir cómo estimar un error cuando se usa el método secante (método numérico)

Quiero encontrar una raíz Tengo [matemáticas] f (x) = 0 [a, b] [/ matemáticas]

Hay tres formas de hacer esto comúnmente. El método de bisección, el método de newton raphson y el método secante. El método secante es cuasi-newton. Por supuesto, hay más formas porque aquí se supone [math] \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, f (x) [/ math] continua en [math] [a, b] [/ math]

  1. Bisección, definir [matemática] \ varepsilon> 0 [/ matemática]
    1. Definir [matemáticas] c = \ frac {a + b} {2} [/ matemáticas]
    2. si [math] bc \ leq \ varepsilon [/ math] acepta como c como siguiente raíz
    3. if sign [math] f (b) * f (c) \ leq 0 [/ math] establezca a = c else b = c return to top
  2. Esto siempre convergerá, cuántas iteraciones.
  3. Deje que [math] a_ {n}, b_ {n} c_ {n}, [/ math] denotado por el enésimo paso calculado por el valor de a, b, c
  4. [matemáticas] b_ {n + 1} – a_ {n + 1} = \ frac {1} {2} (b_ {n} -a_ {n}) n \ geq 1 [/ matemáticas]
  5. [matemáticas] b_ {n} -a_ {n} = \ frac {1} {2 ^ {n-1}} (b-1) [/ matemáticas]
  6. donde ba es la longitud del intervalo original, ya que la raíz [math] \ alpha \ in [a_ {n}, c_ {n}], \ alpha \ in [c_ {n}, b_ {n}] [/ math ]sabemos
  7. [matemáticas] | \ alpha -c_ {n} | \ leq c_ {n} -a_ {n} = b_ {n} – c_ {n} = \ frac {1} {2} (b_ {n} -a_ {n}) [/ math]
  8. entonces este es nuestro error vinculado para [math] c_ {n} [/ math] en el paso 2, que nos da más error vinculado [math] | \ alpha-c_ {n} | \ leq \ frac {1} {2 ^ {n}} (ba), c_ {n} \ to \ alpha, n \ to \ infty [/ math]
  9. Cuantas iteraciones necesitamos
    1. [matemáticas] | \ alpha – c_ {n} | \ leq \ varepsilon [/ math]
    2. [matemáticas] \ frac {1} {2 ^ {n}} (ba) \ leq \ varepsilon [/ matemáticas]
    3. [matemáticas] n \ geq \ frac {\ log (\ frac {ba} {\ varepsilon}} {\ log (2)} [/ matemáticas]
    4. entonces [matemáticas] n \ geq \ frac {\ log (\ frac {1} {. 001}} {\ log (2)} = 9.97 [/ matemáticas]
    5. Necesitamos 10 iteraciones.
  10. Método de Newton
    1. El método de Newton depende de la elección inicial
    2. Método de Newton
    3. [matemáticas] x_ {n + 1} = x_ {n} – \ frac {f_ {n}} {f ^ {‘} (n)} [/ matemáticas]
    4. Elija [matemáticas] x_ {0}> 0, [/ matemáticas]
    5. error puede ser mostrado
    6. [matemáticas] Rel (x_ {n + 1}) = [Rel (x_ {n}) ^ {2} [/ matemáticas]
    7. [matemáticas] Rel (x_ {n}) = \ frac {\ alpha-x_ {n}} {\ alpha} [/ matemáticas]
    8. donde considere [math] x_ {n} [/ math] como una aproximación a [math] \ alpha = \ frac {1} {b} \ implica | Rel (x_ {0} | <1 [/ math]
    9. [matemáticas] -1 <\ frac {\ frac {1} {b} – x_ {0}} {\ frac {1} {b}} <1 [/ matemáticas]
    10. [matemáticas] 0 <x_ {0} <\ frac {2} {b} [/ matemáticas]
    11. la iteración [matemática] x_ {n + 1} = x_ {n} (2-bx_ {n}) n \ geq 0 [/ matemática] converge a [matemática] \ alpha \ frac {1} {b} \ iff x_ {0} x_ {0} 0 <x_ {0} <\ frac {2} {b} [/ math]
    12. Error
      1. La convergencia es muy rápida.
      2. [matemáticas] Rel (x_ {1}) = 10 ^ {- 2} [/ matemáticas]
      3. [matemáticas] Rel (x_ {2}) = 10 ^ {- 4} [/ matemáticas]
      4. [matemáticas] Rel (x_ {3}) = 10 ^ {- 8}) [/ matemáticas]
      5. [matemáticas] Rel (x_ {4}) = 10 ^ {- 16}) [/ matemáticas]
  11. Secante
    1. Similar al método de bisección dado un intervalo [a, b] define el siguiente punto
    2. [matemáticas] x_ {n + 1} = x_ {n} – \ frac {x_ {n} -x_ {n + 1}} {f (x_ {n}) – f (x_ {n-1})} [ /matemáticas]
    3. entonces [matemáticas] \ alpha – x_ {n + 1} = (\ alpha-x_ {n}) (\ alpha-x_ {n-1}) \ frac {-f ^ {”} (\ beta_ {n} )} {2f ^ {‘} (\ beta_ {n}} [/ math]
    4. con [matemáticas] f ^ {‘} (x_ {n}) \ aprox \ frac {f (x_ {n} – f (x_ {n-1}} {x_ {n} -x_ {n-1}} [ /matemáticas]
    5. error de rendimiento [matemática] \ alpha – x_ {n-1} \ aprox x_ {n} – x_ {n-1} [/ matemática]