Quiero encontrar una raíz Tengo [matemáticas] f (x) = 0 [a, b] [/ matemáticas]
Hay tres formas de hacer esto comúnmente. El método de bisección, el método de newton raphson y el método secante. El método secante es cuasi-newton. Por supuesto, hay más formas porque aquí se supone [math] \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, f (x) [/ math] continua en [math] [a, b] [/ math]
- Bisección, definir [matemática] \ varepsilon> 0 [/ matemática]
- Definir [matemáticas] c = \ frac {a + b} {2} [/ matemáticas]
- si [math] bc \ leq \ varepsilon [/ math] acepta como c como siguiente raíz
- if sign [math] f (b) * f (c) \ leq 0 [/ math] establezca a = c else b = c return to top
- Esto siempre convergerá, cuántas iteraciones.
- Deje que [math] a_ {n}, b_ {n} c_ {n}, [/ math] denotado por el enésimo paso calculado por el valor de a, b, c
- [matemáticas] b_ {n + 1} – a_ {n + 1} = \ frac {1} {2} (b_ {n} -a_ {n}) n \ geq 1 [/ matemáticas]
- [matemáticas] b_ {n} -a_ {n} = \ frac {1} {2 ^ {n-1}} (b-1) [/ matemáticas]
- donde ba es la longitud del intervalo original, ya que la raíz [math] \ alpha \ in [a_ {n}, c_ {n}], \ alpha \ in [c_ {n}, b_ {n}] [/ math ]sabemos
- [matemáticas] | \ alpha -c_ {n} | \ leq c_ {n} -a_ {n} = b_ {n} – c_ {n} = \ frac {1} {2} (b_ {n} -a_ {n}) [/ math]
- entonces este es nuestro error vinculado para [math] c_ {n} [/ math] en el paso 2, que nos da más error vinculado [math] | \ alpha-c_ {n} | \ leq \ frac {1} {2 ^ {n}} (ba), c_ {n} \ to \ alpha, n \ to \ infty [/ math]
- Cuantas iteraciones necesitamos
- [matemáticas] | \ alpha – c_ {n} | \ leq \ varepsilon [/ math]
- [matemáticas] \ frac {1} {2 ^ {n}} (ba) \ leq \ varepsilon [/ matemáticas]
- [matemáticas] n \ geq \ frac {\ log (\ frac {ba} {\ varepsilon}} {\ log (2)} [/ matemáticas]
- entonces [matemáticas] n \ geq \ frac {\ log (\ frac {1} {. 001}} {\ log (2)} = 9.97 [/ matemáticas]
- Necesitamos 10 iteraciones.
- Método de Newton
- El método de Newton depende de la elección inicial
- Método de Newton
- [matemáticas] x_ {n + 1} = x_ {n} – \ frac {f_ {n}} {f ^ {‘} (n)} [/ matemáticas]
- Elija [matemáticas] x_ {0}> 0, [/ matemáticas]
- error puede ser mostrado
- [matemáticas] Rel (x_ {n + 1}) = [Rel (x_ {n}) ^ {2} [/ matemáticas]
- [matemáticas] Rel (x_ {n}) = \ frac {\ alpha-x_ {n}} {\ alpha} [/ matemáticas]
- donde considere [math] x_ {n} [/ math] como una aproximación a [math] \ alpha = \ frac {1} {b} \ implica | Rel (x_ {0} | <1 [/ math]
- [matemáticas] -1 <\ frac {\ frac {1} {b} – x_ {0}} {\ frac {1} {b}} <1 [/ matemáticas]
- [matemáticas] 0 <x_ {0} <\ frac {2} {b} [/ matemáticas]
- la iteración [matemática] x_ {n + 1} = x_ {n} (2-bx_ {n}) n \ geq 0 [/ matemática] converge a [matemática] \ alpha \ frac {1} {b} \ iff x_ {0} x_ {0} 0 <x_ {0} <\ frac {2} {b} [/ math]
- Error
- La convergencia es muy rápida.
- [matemáticas] Rel (x_ {1}) = 10 ^ {- 2} [/ matemáticas]
- [matemáticas] Rel (x_ {2}) = 10 ^ {- 4} [/ matemáticas]
- [matemáticas] Rel (x_ {3}) = 10 ^ {- 8}) [/ matemáticas]
- [matemáticas] Rel (x_ {4}) = 10 ^ {- 16}) [/ matemáticas]
- Secante
- Similar al método de bisección dado un intervalo [a, b] define el siguiente punto
- [matemáticas] x_ {n + 1} = x_ {n} – \ frac {x_ {n} -x_ {n + 1}} {f (x_ {n}) – f (x_ {n-1})} [ /matemáticas]
- entonces [matemáticas] \ alpha – x_ {n + 1} = (\ alpha-x_ {n}) (\ alpha-x_ {n-1}) \ frac {-f ^ {”} (\ beta_ {n} )} {2f ^ {‘} (\ beta_ {n}} [/ math]
- con [matemáticas] f ^ {‘} (x_ {n}) \ aprox \ frac {f (x_ {n} – f (x_ {n-1}} {x_ {n} -x_ {n-1}} [ /matemáticas]
- error de rendimiento [matemática] \ alpha – x_ {n-1} \ aprox x_ {n} – x_ {n-1} [/ matemática]
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