Cómo demostrar que la energía cinética es [matemáticas] \ frac {1} {2} mv ^ {2} [/ matemáticas]

Aquí lo probaré usando un método que no sea de cálculo.

[matemáticas] \ text {Trabajo realizado (Energía),} W = (\ text {Fuerza,} F) * (\ text {Desplazamiento,} s) [/ matemáticas]

con F y s paralelas entre sí.

[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]

Donde m es la masa y a es la aceleración de la partícula.

[matemáticas] W = mas [/ matemáticas]

Al usar la ecuación de movimiento lineal,

[matemáticas] v ^ 2 = u ^ 2 + 2as [/ matemáticas]

Donde v es la velocidad final yu la velocidad inicial.

Reorganizando la ecuación que obtenemos,

[matemáticas] como = \ frac {1} {2} (v ^ 2 – u ^ 2) [/ matemáticas]

Sustitúyalo en W

[matemáticas] W = m * \ frac {1} {2} (v ^ 2 – u ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] W = \ frac {1} {2} m (v ^ 2 – u ^ 2) [/ matemáticas]

Si u es 0, entonces,

[matemáticas] W = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]

cuál es la fórmula para la energía cinética.

La energía cinética es la energía de la partícula o sistema de partículas debido al movimiento. Cuando el trabajo se realiza en el objeto, entra en movimiento. La cantidad de trabajo realizado sobre el objeto se convierte en energía de movimiento. La energía se llama energía cinética.

Considere la partícula de masa en reposo en la superficie horizontal. Considere un caso muy especial, una fuerza constante dentro de la distancia s. Debido a esta fuerza, acelera con aceleración constante ‘a’.

Luego,

Trabajo realizado sobre la partícula = F s

De la segunda ley de movimiento de Newton F = ma,

Entonces, trabajo realizado = ma s

De la ecuación de movimiento, (aceleración constante)

[matemáticas] v ^ 2 = u ^ 2 + 2as [/ matemáticas]

[matemáticas] v ^ 2 = 2as [/ matemáticas]

u = 0; inicialmente en reposo.

a = [matemáticas] \ frac {v ^ 2} {2s} [/ matemáticas]

Luego,

Trabajo realizado = [matemáticas] m \ frac {v ^ 2} {2s} s [/ matemáticas]

Trabajo realizado = [matemáticas] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas].

Una vez más, la energía cinética es la cantidad de trabajo realizado para llevar un cuerpo como descanso a la velocidad v.

Entonces, KE = Trabajo realizado = [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática].

También se puede probar para casos más generales como el anterior.

Deje que haya un punto de masa de masa my deje que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él sea [math] \ mathbf {F} [/ math]. Luego, usando la segunda ley,

[math] \ mathbf {F} = m \ dot {\ mathbf {v}} [/ math]

De todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en el caso general, algunas serán fuerzas conservadoras, mientras que otras serán no conservadoras. Sea la suma de todas las fuerzas conservadoras [math] \ mathbf {F} _c [/ math] y la de las fuerzas no conservadoras sea [math] \ mathbf {F} _ {nc} [/ math]. Luego,

[math] \ mathbf {F} _c + \ mathbf {F} _ {nc} = m \ dot {\ mathbf {v}} [/ math]

Como [math] \ mathbf {F} _c [/ math] es conservador, existe un escalar [math] U (\ mathbf {r}) [/ math] tal que – [math] \ mathbf {\ nabla} U = \ mathbf {F} _c [/ math]. Ahora,

[matemáticas] m \ dot {\ mathbf {v}} = m \ ddot {x} \ mathbf {i} + m \ ddot {y} \ mathbf {j} + m \ ddot {z} \ mathbf {k} [ /matemáticas]

Considere el trabajo realizado sobre un pequeño desplazamiento del cuerpo [math] \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ equiv \ mathrm {d} x \ mathbf {i} + \ mathrm {d} y \ mathbf {j} + \ mathrm {d} z \ mathbf {k} [/ math]. El trabajo realizado por la fuerza conservadora es

[matemáticas] – \ mathbf {\ nabla} U. \ mathrm {d} \ mathbf {r} = – \ mathrm {d} U [/ math]

El trabajo realizado por las fuerzas no conservadoras es,

[math] \ mathbf {F} _ {nc}. \ mathrm {d} \ mathbf {r} [/ math]

Su suma es igual a

[matemáticas] m \ dot {\ mathbf {v}}. \ mathrm {d} \ mathbf {r} = m \ ddot {x} \ mathrm {d} x + m \ ddot {y} \ mathrm {d} y + m \ ddot {z} \ mathrm {d} k [/ math]

Tenga en cuenta que

[matemáticas] m \ ddot {x} \ mathrm {d} x = m \ dot {x} \ dfrac {\ mathrm {d} \ dot {x}} {\ mathrm {d} x} \ mathrm {d} x = \ dfrac {1} {2} m \ mathrm {d} \ dot {x} ^ 2 [/ math]

Así,

[matemáticas] – \ mathrm {d} U + \ mathbf {F} _ {nc}. \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ dfrac {1} {2} m \ mathrm {d} (\ dot { x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2 + \ dot {z} ^ 2) [/ math], o,

[matemática] – \ mathrm {d} U + \ mathbf {F} _ {nc}. \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ left (\ dfrac {1} {2} mv ^ 2 \ derecha) [/ matemáticas]

La cantidad [matemática] -U [/ matemática] se denomina energía potencial. El cambio en la energía potencial es la suma total del trabajo realizado por las fuerzas conservadoras en un cuerpo.

La cantidad [matemática] \ dfrac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática] se denomina energía cinética. El cambio en la energía cinética es la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas (tanto conservadoras como no conservadoras) en el cuerpo.

Tenga en cuenta que,

[math] \ mathrm {d} \ left (U + \ dfrac {1} {2} mv ^ 2 \ right) \ equiv \ mathrm {d} E = \ mathbf {F} _ {nc}. \ mathrm {d } \ mathbf {r} [/ math]

La cantidad [matemática] E = U + \ dfrac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática] se denomina energía mecánica del cuerpo. Se deduce que en ausencia de fuerzas no conservativas (fricción, amortiguación, etc.), [math] \ mathrm {d} E = 0 \ implica que E [/ math] es constante. Esto es lo que se llama la ley de conservación de la energía mecánica.

La energía cinética es la energía que posee un objeto, simplemente debido a su movimiento o debido a su impulso, que a su vez depende del producto de la masa por la velocidad.

Es obvio que si la velocidad es cero, el momento es cero y, por lo tanto, su energía cinética es cero.

Por lo tanto, está claro que para encontrar la energía cinética de un objeto en movimiento, detenemos el objeto en movimiento aplicando una fuerza y ​​medimos el trabajo realizado por la fuerza. El trabajo realizado es la energía cinética que posee el objeto.

Por lo tanto, la fuerza * distancia de frenado del objeto es la medida de la energía cinética.

La (s) distancia (s) de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad (v ^ 2)

De hecho, v ^ 2 = 2 como donde a es la magnitud de la aceleración.

ma es la fuerza.

ma * s = m (v ^ 2) / 2. Por lo tanto, demostrado.

Estoy más con Mike Wilkes aquí. ¿Tiene el interrogador una definición funcional de “energía” en sí misma? Puedo probar la tesis dada la conservación de la energía y una definición de energía potencial, pero no está claro que este sea el punto de partida.

Por ejemplo, considero que la formulación hamiltoniana es la más elegante.

[matemáticas] H = \ frac {p ^ 2} {2m} + V (x) [/ matemáticas]

Entonces, la velocidad es la derivada parcial con respecto al momento [matemática] p [/ matemática], y esta es [matemática] v = p / m [/ matemática]. Entonces la energía cinética es

[matemáticas] \ frac {p ^ 2} {2m} = \ frac {mv ^ 2} {2} [/ matemáticas]

Pero tiendo a dudar de que eso es lo que se busca.

Sin pretender ser impertinente, pero estrictamente hablando no puedes … probar, es decir, que la energía cinética [matemática] K [/ matemática] es [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2. [/ Matemática] Por la simple razón de que esta es la definición de energía cinética. Sería similar a intentar probar que la aceleración [matemáticas] a [/ matemáticas] es [matemáticas] dv / dt [/ matemáticas]. Es una de esas cosas en física que no se prueba, simplemente se define. Sin embargo, puede hacer cosas importantes como probar el teorema de energía cinética del trabajo que conecta el trabajo realizado en un objeto por varias fuerzas con los cambios en su potencial y energías cinéticas, como lo ha hecho Anirban Ghoshal en su respuesta de manera admirable. Al llevar a cabo esa derivación, las cantidades aparecen naturalmente, una de las cuales es [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2. [/ Matemática] Esta cantidad que necesita un nombre se define como energía cinética. Perdón por aclarar el punto; quizás ya lo sabías, y yo simplemente entendí mal la pregunta.

REVISIÓN MAYOR. En respuesta al comentario reflexivo sobre mi respuesta recibida del Usuario-10185532933882708813, y a varias de las respuestas proponiendo pruebas de que la energía cinética es [matemáticas] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas], siento que yo Debería explicar mi posición un poco más, a riesgo de golpear esta pregunta hasta la muerte. En la mecánica newtoniana hay ciertos conceptos que la mayoría estaría de acuerdo son fundamentales. Podemos medir la masa [math] m [/ math] de un cuerpo y, a veces, determinar las fuerzas [math] \ mathbf {F} [/ math] que actúan sobre él. Su vector de posición [math] \ mathbf {r} (t) [/ math], vector de velocidad [math] \ mathbf {v} (t) = d \ mathbf {r} / dt = \ dot {\ mathbf {r} } [/ math], y el vector de aceleración [math] \ mathbf {a} (t) = d \ mathbf {v} / dt = \ dot {\ mathbf {v}} [/ math] son ​​variables cinemáticas cuyas definiciones son universalmente acordado. Su dinámica se basa en la segunda ley de Newton, [math] \ mathbf {F} _ {net} = m \ mathbf {a} = m \ dot {\ mathbf {v}} [/ math], donde [math] \ mathbf {F} _ {net} [/ math] es la fuerza neta, la suma vectorial de todas las fuerzas, que actúa sobre el objeto. Considero que estos son los conceptos primitivos de la mecánica newtoniana y, por cierto, resultan ser el punto de partida para la respuesta de Anirban Ghoshal a esta pregunta, por lo que lo tengo en tan alta estima.

Después de eso, comenzamos a introducir otros conceptos útiles, intentando ser lo más precisos posible al definirlos. Varios de los que respondieron a esta pregunta sugieren que “energía” es un concepto así, yendo más allá al decir que se entiende que es “fuerza por distancia”. Desafortunadamente, en el próximo aliento también se dice que esto es “trabajo”. Considero que esta confusión de definiciones es una fuente importante de desacuerdo aquí.

En la mayoría de los libros de texto de física sobre mecánica newtoniana de los que tengo conocimiento, un concepto fundamental temprano que se introducirá después de la segunda ley, y antes de mencionar la energía de cualquier tipo, es el trabajo [matemático] W [/ matemático] realizado por un forzar [math] \ mathbf {F} [/ math]. Se define como la integral de línea de la fuerza sobre la ruta [math] \ mathcal {C} [/ math] a lo largo de la cual se mueve el objeto:

[matemáticas] \ begin {align} W = \ int _ {\ mathcal {C}} \, \ mathbf {F} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {r} \,. \ end {align} [/ matemáticas]

Las diferentes fuerzas realizan diferentes cantidades de trabajo, y algunas fuerzas, las conservadoras , hacen un trabajo que es independiente de la ruta a lo largo de la cual se mueve el objeto. Como menciona Anirban, tales fuerzas son derivables del gradiente de una función escalar, y esta característica da lugar a la noción de un tipo de energía conocida como energía potencial. Sin embargo, si se considera la fuerza neta [math] \ mathbf {F} _ {net} [/ math] que actúa sobre el objeto, entonces el trabajo neto realizado sobre el objeto se puede calcular de acuerdo con la definición de la integral de línea

[matemáticas] \ begin {align} W_ {net} = \ int _ {\ mathbf {r} _1} ^ {\ mathbf {r} _2} \, \ mathbf {F} _ {net} \ cdot {\ rm {d }} \ mathbf {r} \ ,, \ end {align} [/ math]

donde suponemos que la ruta de integración conecta las posiciones [math] \ mathbf {r} _1 [/ math] y [math] \ mathbf {r} _2 [/ math]. La segunda ley de Newton, sin embargo, relaciona la fuerza neta con la aceleración del objeto, por lo que tenemos, de manera equivalente:

[matemáticas] \ begin {align} W_ {net} = \ int _ {\ mathbf {r} _1} ^ {\ mathbf {r} _2} \, m \, \ dot {\ mathbf {v}} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {r} \, = \, \ int_ {t_1} ^ {t_2} \, m \, \ dot {\ mathbf {v}} \ cdot \ mathbf {v} \, dt \, , \ end {align} [/ math]

donde [math] t_i [/ ​​math] es el momento en que el objeto estaba en la posición [math] \ mathbf {r} _i [/ ​​math], [math] \, i = 1, \, 2 [/ math]. Pero tenemos la identidad del vector.

[matemáticas] \ begin {align} \ dot {\ mathbf {v}} \ cdot \ mathbf {v} = \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} \ cdot \ mathbf {v} = \ frac {1 } {2} \ frac {d} {dt} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ right) = \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {1} {2} \, v ^ 2 \ right) \ ,, \ end {align} [/ math]

donde [math] v ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}, [/ math] para que el trabajo neto se pueda escribir como

[matemáticas] \ begin {align} W_ {net} \, = \, \ int_ {t_1} ^ {t_2} \, \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {1} {2} \, mv ^ 2 \ right) \, dt \, = \, \ frac {1} {2} \, mv ^ 2 (t_2) \, – \, \ frac {1} {2} \, mv ^ 2 (t_1) \ ,, \ end {align} [/ math]

por el teorema fundamental del cálculo.

Entonces, lo que podemos concluir es que el trabajo neto realizado en un objeto al moverlo desde la posición [math] \ mathbf {r} _1 [/ math] en el momento [math] t_1 [/ math] a [math] \ mathbf { r} _2 [/ math] en el momento [math] t_2 [/ math] es igual al cambio en la función [math] \ frac {1} {2} mv ^ 2 (t) [/ math] entre esas dos posiciones o veces Elegimos nombrar esa función de energía cinética, y este es el teorema de energía cinética de trabajo: el trabajo neto realizado en un objeto es igual al cambio en su energía cinética. No es necesario mencionar las leyes de conservación para definir la energía cinética. No hemos demostrado que la energía cinética sea [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2, [/ matemática] solo que el cambio en esta función está determinado por el trabajo neto realizado.

Tenga en cuenta que la energía cinética (así como la energía potencial) puede considerarse una función del tiempo o la posición, pero el trabajo no . El trabajo no es energía, o una energía (aunque tiene unidades de energía). El trabajo es un proceso que produce un cambio en alguna forma de energía de un objeto (o sistema), similar a la forma en que el calor es un proceso que produce un cambio en la energía térmica o interna de un sistema.

1. Desarrolle una máquina prácticamente sin fricción, que pueda medir con precisión el tiempo y la posición de una masa o masas en movimiento.
2. enviar estas masas sobre un curso fijo. quizás envíe estas misas en cursos de colisión.
3. graficar el tiempo y la posición de la (s) masa (s)
4. tenga en cuenta la pendiente de los circos trazados, así como el área debajo de ellos. ¿Puedes determinar alguna relación?
5. lo más obvio debería ser que si integras las parcelas encuentras la velocidad de las masas.
6. la velocidad de integración encuentra la energía de las masas
7. la energía integradora encuentra poder.

Esta matemática está respaldada por sus gráficos y su experiencia, y puede confirmarse repitiendo el experimento y utilizando cualquier aparato de medición de velocidad o energía que pueda tener.

¿Qué encuentras para integrar el poder?

En primer lugar, debe aceptar que la conversación sobre la energía es verdadera y luego continuar con el trabajo realizado = otra forma de energía (en este caso, es la energía cinética).

El trabajo realizado se define como un producto de la fuerza y ​​el desplazamiento en la dirección de la fuerza.

WD = F • x = ma • x (usando la segunda ley de Newton)

Luego, usando una ecuación de movimiento, v² = u² + 2ax, haremos la aceleración, a, el sujeto. Esto nos lleva a a = (v² − u²) / 2x. Suponiendo que la velocidad inicial del cuerpo sobre el trabajo realizado en él es 0, obtenemos a = v² / 2x

WD = m (v² / 2x) • x = 1 / 2mv².

Si acepta las definiciones de energía y fuerza, definimos la energía como una fuerza actuada a través de una distancia. Si esa distancia es x, podemos decir Force * x = ma * x. Eso es energía.

Si preguntamos “¿Cuál es la velocidad máxima que un objeto podría obtener con esa energía?”, Podemos obtener energía cinética.

Por ejemplo, si levanta algo contra la fuerza de la gravedad, le costará energía. Entonces, si dejas caer ese objeto, ¿a dónde va esa energía? Entra en la velocidad de los objetos, o energía cinética. Si recuerda que la distancia con respecto al tiempo de algo con aceleración constante es x = 1/2 * a * t ^ 2, podemos sustituir nuestra x, entonces E = m * a * 1/2 * a * t ^ 2 = 1/2 * m * a ^ 2 * t ^ 2. Recuerde que la aceleración es v / t, así que sustitúyala por E = 1/2 * m * v ^ 2 / t ^ 2 * t ^ 2, la t ^ 2 se cancela y tenemos E = 1/2 * m * v ^ 2, que es energía cinética.

Espero que esto ayude.