Como complemento de estas dos excelentes respuestas, creo que el teorema de GHZ merece ser más conocido. Este teorema está en la misma línea que la desigualdad de Bell, pero en lugar de una desigualdad que un experimento debe mostrar estadísticamente, el teorema GHZ construye un experimento donde un solo resultado Sí / No puede probar o refutar la existencia de enredos no locales.
(Lo siguiente se basa en notas de un QM que tomé dado por Paolo Bedaque en UMD)
El acrónimo GHZ significa Greenberger-Horne-Zeilinger, quienes juntos diseñaron el experimento GHZ (realizado por Zeilinger) que demuestra que cualquier teoría de variables ocultas necesariamente no sería local. Este teorema mejora considerablemente el teorema de Bell al considerar tres partículas de 1/2 espín en lugar de dos.
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Abstracto:
La máquina GHZ consiste en un botón que, cuando se presiona, envía una señal a tres detectores A, B y C. Cada uno de estos detectores tiene un interruptor que se puede configurar en la posición 1 o 2, y cuando cada uno recibe la señal del botón se enciende una luz verde o roja. El interruptor se puede configurar en cada detector mientras la señal está viajando, y, naturalmente, los detectores se pueden separar lo suficiente como para que no puedan (suponiendo localidad) comunicarse entre sí ni de nuevo con el botón antes de que tengan que “decidir” encender la luz verde o roja; La única información que tienen es la señal del botón. Ahora suponga que esta máquina está diseñada de modo que cuando los interruptores se configuran en una de las configuraciones C1, C2 o C3 que se muestran en la tabla a continuación, siempre se enciende un número impar de luces rojas (diseñaremos una máquina real para hacer esto luego).
C1 C2 C3
———–
A | 1 2 2
B | 2 1 2
C | 2 2 1
Ahora suponga que toda la información sobre lo que debería suceder está determinada por la señal enviada por el botón, es decir, que el botón envía una señal con “variables ocultas” que le indican a los detectores en A, B y C qué hacer dependiendo de cómo los interruptores están configurados. Dado que estamos asumiendo la localidad, la señal no puede decirle a cada detector que tome una decisión basada en las configuraciones del interruptor en los otros detectores. Solo puede decirle a cada detector qué hacer en función de su propia configuración de interruptor. Ahora en general cada El detector tiene cuatro modos de operación (siempre rojo, siempre verde o rojo / verde dependiendo de la ubicación del interruptor), lo que hace posible 64 conjuntos de comandos que el botón podría enviar. Sin embargo, las restricciones sobre cómo debe comportarse la máquina con las configuraciones C1, C2 y C3 eliminan la mayoría de estos, dejando (como puede comprobar) solo ocho:
A B C
———–
1 | R R R
2 | R R R
A B C
———–
1 | R R R
2 | G G G
A B C
———–
1 | R G G
2 | G R R
A B C
———–
1 | R G G
2 | R G G
A B C
———–
1 | G R G
2 | R G R
A B C
———–
1 | G R G
2 | G R G
A B C
———–
1 | G G R
2 | R R G
A B C
———–
1 | G G G
2 | G G R
Al inspeccionar estas posibilidades, verá que en la configuración C4 en la que A, B y C están configurados en 1,
C4
—–
A | 1
B | 1
C | 1
siempre debe haber un número impar de luces rojas encendidas. Entonces, si una máquina GHZ está construida para dar un número impar de luces rojas en las configuraciones C1, C2 y C3, y si toda la información que determina cómo se comportan los detectores A, B, C proviene de la señal que cada uno recibe (como en un teoría de variables ocultas locales), entonces necesariamente deben dar un número impar de luces rojas en la configuración C4.
Construcción de la máquina GHZ utilizando partículas spin-1/2:
Ahora podemos construir una máquina GHZ usando partículas spin-1/2. El botón es un dispositivo que enreda tres partículas de spin-1/2 y las envía por separado a los detectores A, B y C. Estos detectores miden [math] \ sigma_x [/ math] o [math] \ sigma_y [/ math ] dependiendo de si están configurados en 1 o 2, respectivamente. Cada detector enciende la luz roja que mide +1 y la luz verde si mide -1. La configuración C1 = 122 corresponde a la medición
[matemáticas] P_ {xyy} = \ sigma_x \ otimes \ sigma_y \ otimes \ sigma_y [/ math]
en las partículas enredadas. Del mismo modo, las configuraciones C2, C3 y C4 realizan mediciones análogas [matemáticas] P_ {yxy} [/ matemáticas], [matemáticas] P_ {yyx} [/ matemáticas] y [matemáticas] P_ {xxx} [/ matemáticas]. Todos estos operadores viajan entre sí y se ajustan a la unidad, como puede verificar. Esto se deduce de la anticommutatividad de las matrices de Pauli. Para dar un ejemplo explícitamente,
[matemáticas]
\ left [P_ {xyy}, P_ {yxy} \ right] = \ left (\ sigma_x \ sigma_y \ right) \ otimes \ left (\ sigma_y \ sigma_x \ right) \ otimes 1
[/matemáticas]
[matemáticas]
– \ left (\ sigma_y \ sigma_x \ right) \ otimes \ left (\ sigma_x \ sigma_y \ right) \ otimes 1
[/matemáticas]
[matemáticas]
= \ left (\ sigma_x \ sigma_y \ right) \ otimes \ left (\ sigma_y \ sigma_x \ right) \ otimes 1
[/matemáticas]
[matemáticas]
– (-1) ^ 2 \ left (\ sigma_x \ sigma_y \ right) \ otimes \ left (\ sigma_y \ sigma_x \ right) \ otimes 1
[/matemáticas]
[matemáticas]
= 0.
[/matemáticas]
Ahora, hay un estado enredado
[matemáticas]
\ langle GHZ \ rangle = \ frac {\ langle \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ rangle – \ langle \ downarrow \ downarrow \ downarrow \ rangle} {\ sqrt {2}}
[/matemáticas]
conocido como el estado Greenberger-Horne-Zeilinger que hará que se encienda un número impar de luces rojas en las configuraciones C1, C2 y C3, es decir
[matemáticas]
P_ {xyy} \ langle GHZ \ rangle = + \ langle GHZ \ rangle
[/matemáticas]
[matemáticas]
P_ {yxy} \ langle GHZ \ rangle = + \ langle GHZ \ rangle
[/matemáticas]
[matemáticas]
P_ {yyx} \ langle GHZ \ rangle = + \ langle GHZ \ rangle
[/matemáticas]
dado que cuando hay un número impar de mediciones de +1 (luces rojas) y, por lo tanto, un número par de mediciones de -1 (luces verdes), el producto es +1. ¿Pero qué sucede cuando el dispositivo de botón envía este estado y se realiza la medición [matemática] P_ {xxx} [/ matemática] (es decir, C4 = 111)? Resulta, como puedes demostrar, que
[matemáticas]
P_ {xxx} = – P_ {xyy} P_ {yxy} P_ {yyx}
[/matemáticas]
entonces
[matemáticas]
P_ {xxx} \ langle GHZ \ rangle = – \ langle GHZ \ rangle
[/matemáticas]
Por lo tanto, la máquina GHZ puede producir un número par de luces rojas en la configuración C4 con una señal permitida. Este resultado mecánico cuántico contradice la conclusión de la variable oculta (local) anterior, por lo que estas son teorías incompatibles. El experimento GHZ se ha realizado y, como es lógico, proporciona el resultado mecánico cuántico esperado, descartando así la existencia de cualquier teoría de variables ocultas (locales). Esta prueba es increíblemente elegante, ya que requiere solo una medida y rige la existencia de una amplia clase de teorías físicas que aún no se han inventado. Por supuesto, algunas personas no se desaniman, y argumentan por la no localidad o por explicaciones extrañas (no puede configurar arbitrariamente los interruptores ya que no tiene libre albedrío, por lo que la física conspira para dar el resultado mecánico cuántico, etc. .). Para los físicos cuerdos, sin embargo, este experimento es muy convincente. Ahora el teorema de Bell en sí era muy convincente, pero era mucho más complicado, mientras que el teorema de GHZ es más elegante.