Esta pregunta no es muy específica, pero trataré de resaltar los usos generales del Lagrangiano en mecánica cuántica (QM).
En los libros de texto de pregrado y en QM no relativista, generalmente se usa el enfoque o formalismo hamiltoniano, y en la teoría de campo cuántico (QFT) se usa ampliamente el enfoque lagrangiano. El Hamiltoniano hace que sea más fácil ver la Unitaridad (física) de la teoría, y el Lagrangiano es adecuado para verificar la invariancia de Lorentz y las simetrías espaciales.
En la mecánica lagrangiana, la Acción [matemática] S [/ matemática] es el tiempo integral de la [matemática] L [/ matemática] lagrangiana:
- Si suponemos que la interpretación de la mecánica cuántica de muchos mundos de Everett es correcta, ¿eso por sí solo resuelve el problema de medición y explica qué es una medición?
- ¿Cómo ejerce un fotón atracción gravitacional?
- ¿Qué quiso decir Feynman cuando dijo 'En mecánica cuántica, las cosas no dependen del tiempo absoluto. Si suponemos que es cierto, ¿podemos deducir el principio de conservación de la energía?
- ¿Es posible evitar que la energía se mueva y vibre (incluso en un solo punto)?
- En mecánica cuántica, ¿observamos algo que depende del resultado o el resultado depende de que observemos algo?
[matemáticas] \ displaystyle S = \ int L \ left (q, \ dot {q}, t \ right) dt [/ math]
donde las cantidades [matemáticas] q [/ matemáticas] se llaman coordenadas generalizadas.
En el caso más simple, el lagrangiano de un sistema es la diferencia de la energía cinética y de la energía potencial de ese sistema.
Si la acción [matemática] S [/ matemática] se minimiza, se obtienen las ecuaciones de Euler Lagrange:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial L} {\ partial q} – \ frac {d} {{dt}} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q}} \ right) = 0 [/ matemáticas]
Los resultados anteriores se utilizan en QM. Para llegar al Lagrangiano en QM no relativista, se pueden considerar varias formulaciones de QM:
La formulación de matriz elaborada por Heisenberg en 1925, la formulación de función de onda desarrollada por Schrodinger en 1926, la formulación de espacio de fase inventada por Wigner en 1932, la formulación de matriz de densidad desarrollada por primera vez por Von Neumann y relacionada con la mecánica estadística cuántica, la segunda formulación de cuantificación que implica la creación y operadores de aniquilación y desarrollado por Dirac, Jordan, Klein y Wigner, la formulación de onda piloto de Louis de Broglie (1927) y David Bohm (1952), la formulación de Hamilton-Jacobi que involucra la ecuación Hamilton-Jacobi.
Dos formulaciones más usan el formalismo lagrangiano:
La formulación variacional, desarrollada originalmente por Jordan y Klein en 1927, involucra una función de onda [matemática] \ psi [/ matemática] para minimizar la acción integral sobre la configuración y el espacio de tiempo. Se utiliza el siguiente lagrangiano:
Las formulaciones variacionales se usan preferiblemente en QFT y teorías similares, pero también se pueden aplicar a QM no relativista.
La ruta integral (o formulación de historias de resumen) fue desarrollada inicialmente por Feynman en 1948. Desde un punto de vista histórico, la idea de la formulación integral de Path comenzó con Wiener, luego Dirac la extendió al uso del Lagrangian en QM en un artículo de 1933 titulado adecuadamente “El Lagrangian en la Mecánica cuántica“. Feynman se inspiró en el artículo de Dirac para desarrollar el enfoque integral del camino hacia QFT.
Para obtener más detalles sobre las diversas formulaciones de QM, consulte el siguiente enlace:
Coloquio de Hilbert Space for Quantum Mechanics [Styer] _Nine_Formulations_of_Quantum_Mechanics.pdf
En los QFT, la acción [matemática] S [/ matemática] está relacionada con la densidad lagrangiana [matemática] \ matemática {L} [/ matemática], que es una función de uno o más campos [matemática] \ phi [/ matemática] y sus derivados [math] \ displaystyle \ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ alpha} [/ math]:
Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange están dadas por:
Como otro ejemplo del uso del lagrangiano en una QFT relativista, el lagrangiano en la electrodinámica cuántica (QED) se expresa como:
En la ecuación anterior, [math] \ overset {-} {\ psi} [/ math] se llama adjunto Dirac, [math] \ psi [/ math] es un campo bi-spinor, [math] e [/ math ] es la carga de electrones, [matemática] m [/ matemática] la masa, [matemática] F_ {\ alpha \ beta} [/ matemática] el tensor de campo electromagnético
donde [math] A _ {\ alpha} [/ math] es la covariante de cuatro potenciales, y
donde [math] \ gamma ^ {\ alpha} [/ math] son matrices de Dirac, y [math] D _ {\ alpha} [/ math] es la derivada covariante Gauge.
Aquí hay algunos recursos y enlaces adicionales relevantes y útiles:
¿Por qué no usar Lagrangian, en lugar de Hamiltonian, en QM no relativista?
¿Por qué se prefiere el enfoque lagrangiano sobre el enfoque hamiltoniano en QFT?
Teoría del campo cuántico
Lagrangiano (teoría de campo)
Ver también Introducción a la teoría cuántica de campos , de Peskin y Schroeder.
Para otro lagrangiano significativo relacionado con la física cuántica avanzada y QFT, vea mi respuesta La respuesta de Emad Noujeim a ¿Cuál es el lagrangiano del modelo estándar?
Espero que haya sido útil.