¿Los operadores correspondientes a los observables en Mecánica Cuántica son matemáticamente caracterizables?

Esta es una buena pregunta, o más bien dos preguntas. La primera es: ¿son observables todos los operadores autoadjuntos? He leído muchos artículos sobre los fundamentos de la mecánica cuántica que se publicaron en las décadas de 1950 y 1970 y solía ser bastante común cuestionar si todos los operadores autoadjuntos son observables, pero ya no lo es. La razón principal de esto es que hoy en día creemos que sabemos cómo medir todos los operadores autoadjuntos, al menos en sistemas de dimensiones finitas. Zeilinger et. Alabama. mostró cómo hacer esto en principio en un sistema óptico que utiliza una red de divisores de haz y cambiadores de fase. Esa construcción es terriblemente ineficiente, pero el punto básico es muy simple. Suponga que puede medir a en alguna base ortonormal completa especificada en un espacio de Hilbert. Luego, siempre que pueda generar cualquier operación unitaria en ese espacio, puede medir todos los operadores autoadjuntos girando primero la base propia del operador sobre la base que puede medir. Para generar todas las operaciones unitarias, debe poder diseñar el Hamiltoniano de su sistema para que sea un generador del unitario, o diseñar una secuencia de Hamiltonianos para que cuando los combine genere el unitario. Hay todo un campo de investigación llamado teoría del control cuántico que estudia cómo hacer esto.

En cierto sentido, una computadora cuántica es una máquina que nos permitiría hacer precisamente esto. Allí, encontrará un conjunto finito de operadores unitarios (llamados compuertas en este contexto), de modo que combinarlos en diferentes órdenes y en diferentes subsistemas le permite generar una unitaria arbitraria. Por supuesto, algunas unidades unitarias serán más complicadas de generar que otras, lo que requerirá una mayor cantidad de compuertas elementales, pero en principio si especificas una unitaria dándome sus elementos de matriz, entonces podré encontrar una secuencia de compuertas que lo implementa, y será una secuencia finita si especificamos una tolerancia de error finita. Por lo tanto, tan pronto como tengamos una computadora cuántica, tenemos efectivamente un dispositivo de medición universal para operadores autoadjuntos.

Ahora, las cosas se vuelven un poco más complicadas si consideramos operadores autoadjuntos que se especifican de manera no constructiva, es decir, no se especifican simplemente dándome un montón de números que representan los elementos de la matriz. Por ejemplo, supongamos que tenemos un espacio de Hilbert contable con una base etiquetada por enteros | 1>, | 2>, … Imagine que estos enteros representan una codificación algebraica del conjunto de máquinas de Turing, es decir, piense en ellos como la entrada a un universo Máquina de Turing así que si ingresa N, entonces la máquina universal simula la máquina de Turing no. N en esa codificación. Ahora podemos especificar un operador autoadjunto que tenga un valor propio 1 en | N> si N es la codificación de una máquina de Turing que se detiene en un tiempo finito y un valor propio 0 si no lo tiene. Aunque este es un operador autoadjunto bien definido, no puede haber un procedimiento algorítmico para medirlo, ya que requiere resolver el problema de detención, que Turing demostró que no es computable. (Por cierto, aunque este es un ejemplo de dimensión infinita, puede convertirlo en un ejemplo de dimensión finita considerando un procedimiento para medir una familia de operadores de dimensión creciente cortando en algún N finito y luego pregunte si puede encontrar un procedimiento que funciona para N arbitrario). Por supuesto, este no es realmente un ejemplo “cuántico”, ya que lo mismo sería cierto en un espacio muestral clásico, y probablemente no tenía este tipo de ejemplo en mente. Siempre que especifique su observable de una manera que sea computable, en principio puede medirlo en una computadora cuántica.

En dimensiones infinitas, las cosas son un poco más complicadas. Por lo general, se piensa que solo se pueden medir operadores autoadjuntos acotados, es decir, el espectro tiene un límite superior e inferior finito. Los observables como la posición y el momento en un espacio no compacto no están delimitados, ya que, por ejemplo, las posiciones pueden ser arbitrariamente grandes si el espacio es infinito. La razón es realmente práctica. Para medir la posición en este caso, necesitaría un detector de extensión infinita y que se extienda por todo el espacio. Sin embargo, lo que podemos hacer es considerar una secuencia de operadores que miden si la posición está en un rango finito. Podemos considerar una secuencia de mediciones que son cada vez más precisas. Por supuesto, en algún momento la medición será prácticamente inviable, pero no hay un punto de corte definido para esto (al igual que es imposible decir cuántos granos de arena se requieren para llamar a la colección un montón de arena). Por esta razón, en los tratamientos teóricos, idealizamos e imaginamos que podemos realizar cualquier medición en esta secuencia, es decir, cualquier operador autoadjunto acotado. Por conveniencia matemática, a menudo es útil permitir también los límites de tales secuencias, por lo que obtendrá todos los operadores autoadjuntos que son los límites de una secuencia de operadores autoadjuntos acotados, y esto incluye cosas como posición e impulso.

Bien, ahora a su segunda pregunta, ¿cuáles son los observables que se pueden medir además de los autoadjuntos? Puede saber que la condición para que un operador tenga valores propios reales es que debe ser normal, lo que significa que debe conmutar con su adjunto. Los operadores autoadjuntos son un caso especial de esto, ya que cualquier operador conmuta consigo mismo. Sin embargo, este hecho matemático es bastante irrelevante para la pregunta. Una cosa que debe tenerse en cuenta es que los valores propios asociados a los resultados de medición son realmente solo una cuestión de etiquetado. Por ejemplo, si medimos una partícula de spin-1/2 en la dirección z, generalmente etiquetamos el resultado de spin up hbar / 2 y el spin down -hbar / 2, pero también podríamos usar 1/2 y -1 / 2, 1 y -1, o incluso 1 y 0. Todos los operadores correspondientes a estos etiquetados tienen la misma base propia, pero solo valores propios diferentes. Tenga en cuenta que, en realidad, no hay ninguna razón para no etiquetar los resultados con números complejos en lugar de números reales, por ejemplo, i y -i, e incluso podríamos etiquetarlos con cosas completamente absortas como el tomate y la manzana (esto último podría tener sentido si conectamos nuestro dispositivo Stern-Gerlach hasta una máquina expendedora que dispensa un tomate cuando se obtiene el resultado de rotación y una manzana cuando se obtiene el resultado de rotación). Los valores reales de los valores propios son relevantes cuando también estamos pensando en observables como generadores de operaciones unitarias, por ejemplo, el momento como generador de traducciones, pero si solo estamos pensando en la estructura abstracta de lo que se puede medir, entonces solo la estructura de eigenspaces es importante, ya que esto determina de manera única las probabilidades de medición. Por lo tanto, cuando se piensa en esta pregunta, es mejor pensar en las mediciones como si estuvieran representadas por un conjunto de operadores de proyección, es decir, los proyectores en los espacios propios del operador autoadjunto, en lugar de ser un operador auto-adjunto. Esto a veces se llama Medida de valor del proyector (PVM), que es solo un conjunto de proyectores P_j que suman al operador de identidad (debe tener un poco de cuidado con la suma cuando el conjunto de indexación es contablemente infinito o continuo).

En esta etapa, podemos reformular la pregunta. ¿Hay alguna cosa que pueda medirse en la teoría cuántica aparte de las PVM? En primer lugar, en lugar de un conjunto de proyectores, considere el conjunto más general de operadores E_j que produciría una distribución de probabilidad cuando se aplica a estados, es decir

p (j) =

debería ser una distribución de probabilidad para cualquier estado normalizado | psi>. Para que esto sea cierto, cada E_j debe ser un operador positivo, lo que significa que tiene valores propios positivos, y los operadores deben sumar al operador identiy (nuevamente con advertencias para conjuntos de índices infinitos). Dicha estructura se denomina Medida positiva del valor del operador (POVM). Este es el tipo de observable más general posible, ya que cualquier otra cosa generaría una probabilidad negativa para algún estado.

Ahora tenemos la pregunta de si los POVM realmente se pueden medir. La respuesta es sí. El teorema de Naimark dice que todos los POVM se pueden realizar como PVM en un espacio Hilbert más grande. Hay algunas formas de formular esto, pero una simple es imaginar que comienzas con el sistema que deseas medir y luego le agregas un sistema auxiliar que tiene una dimensión igual al número de resultados de la POVM. Luego, puede encontrar un operador unitario en los dos sistemas, de modo que si primero lo aplica y luego mide el sistema auxiliar de forma fija, obtendrá la distribución de probabilidad predicha para el POVM para cualquier estado de entrada en el sistema original. Los detalles de esta construcción se pueden encontrar en la mayoría de los libros sobre información cuántica y computación, como Nielsen y Chuang. Si le interesa el caso de dimensiones infinitas, le recomiendo “El lenguaje matemático de la teoría cuántica” de Heinosaari y Ziman, que incluye un resultado equivalente en el cap. 5)

Entonces, el tipo más general de observable en un sistema cuántico es un POVM, pero ¿son realmente útiles para algo? Bueno, por un lado, hay POVM que miden conjuntamente la posición y el impulso. Por supuesto, miden una versión ruidosa de ambos de acuerdo con el principio de incertidumbre, pero si quieres formular una teoría cuántica sobre el espacio de fase, entonces son muy útiles. También hay POVM informativamente completos, en el sentido de que si tiene un montón de sistemas todos preparados en el mismo estado y desea estimar el estado, entonces puede medir el mismo POVM en todos ellos para obtener una estimación que converja al verdadero estado asintóticamente. Del mismo modo, hay muchas tareas en la información cuántica para las cuales un POVM proporciona la solución óptima. Por ejemplo, genéricamente si tiene un sistema preparado en uno de un conjunto de estados no ortogonales y desea encontrar la medida que le permita identificar el estado preparado con una probabilidad de error mínima, entonces la respuesta será un POVM en lugar de un PVM .