La mecánica hamiltoniana es una reformulación de la mecánica clásica. El problema central de la formulación de la mecánica de Newton es encontrar la trayectoria de la partícula o sistema dadas las diversas fuerzas que actúan sobre ella y su posición y velocidad iniciales. Ahora, encontrar la trayectoria de una partícula implica resolver un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo orden resumidas por [math] \ vec {F} = m \ vec {a} [/ math]. Una de las desventajas de esta formulación es que está muy ligada al sistema de coordenadas que usamos y, en segundo lugar, es difícil introducir restricciones. Por ejemplo, imaginemos un cubo sólido moviéndose libremente en el espacio. También deje que este cubo esté hecho de N partículas. En la imagen newtoniana, para describir el movimiento de este cubo, debes resolver la ecuación de Newton para N partículas sujetas a la restricción de que la distancia entre dos partículas es constante. También necesita N posiciones iniciales y N velocidades iniciales para resolver este problema. Sin embargo, si lo piensa, todo lo que necesita para resolver este problema son 6 variables, 3 números que especifican la posición del centro de masa y 3 ángulos de Euler para especificar la orientación del cubo en relación con un sistema de coordenadas elegido. Ahora, si intentas reducir las ecuaciones de Newton en términos de estas 6 variables y las restricciones, terminarás en un lío. Aquí es donde la mecánica hamiltoniana viene a rescatar.
Para dar una idea de la mecánica hamiltoniana, considere una partícula libre que se mueva con cierto potencial. Toda la mecánica hamiltoniana se centra en una función llamada hamiltoniana, denotada por el símbolo [math] H [/ math] que para sistemas simples no es más que la energía total del sistema, expresada en términos de posición y momento, es decir,
[matemáticas] H (x, p) = \ frac {p ^ 2} {2m} + V (x) [/ matemáticas].
El segundo ingrediente son las ecuaciones de movimiento de Hamilton, que es un conjunto de dos ecuaciones diferenciales de primer orden dadas por:
[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = \ frac {\ partial H} {\ partial p} [/ math]
[matemáticas] \ frac {dp} {dt} = – \ frac {\ partial H} {\ partial x} [/ math]
Puede verificar que esto sea equivalente a la ecuación de Newton sustituyendo uno por otro. Sin embargo, la belleza de la mecánica hamiltoniana es que la posición coordinada y el impulso son irrelevantes aquí. En principio, puede usar cualquier variable como su posición (llamadas coordenadas generalizadas, q ) e identificar correspondientemente un momento (nuevamente llamado momento generalizado, p ) de modo que la forma de las ecuaciones de Hamilton permanezca siempre sin cambios, es decir, las mismas ecuaciones que arriba pero con posición generalizada e impulso.
Hay muchas estructuras matemáticas involucradas, como los corchetes de Poisson y las formas simplécticas que hacen que la dinámica hamiltoniana sea más rica e interesante. Sin embargo, terminaré con un comentario más relacionado con la respuesta de Swaroop Joshi. La mecánica hamiltoniana es la puerta de entrada a la mecánica cuántica. Una de las nociones matemáticas que surgen de la mecánica hamiltoniana es la de un espacio de fases. En pocas palabras, es el espacio cuyas coordenadas están etiquetadas por q y p . Las ecuaciones de Hamilton le dicen cómo evoluciona el sistema a través de este espacio de fases. Ahora es este espacio de fase el que se asigna a un espacio de Hilbert (que es el espacio de todos los estados cuánticos) después de la cuantización y las funciones de Hamilton y otras definidas en este espacio de fase se promocionan a los operadores correspondientes en el espacio de Hilbert y así es como el operador de Hamilton hace su aparición en QM.
PD: no he explicado cómo la mecánica hamiltoniana simplifica el problema del cubo. Lo puedes encontrar en el libro de Goldstein. Mecanica clasica
PPS: Hamiltoniano no siempre es energía total. Un buen contraejemplo son las teorías de Yang-Mills.
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PPPS: No he dicho nada sobre la conexión que tiene la mecánica hamiltoniana con otra formulación de mecánica llamada formulación lagrangiana. Sin embargo, esto es muy importante desde un punto de vista conceptual y nuevamente lo remito a Goldstein.
