El índice de participación inversa (IPR) es una manera simple de cuantificar en cuántos estados se distribuye una partícula cuando existe cierta incertidumbre intrínseca sobre dónde está esa partícula.
Este tipo de incertidumbre intrínseca surge en la mecánica cuántica, ya que una partícula puede existir en una superposición cuántica de estados en muchas ubicaciones. Por ejemplo, el estado del electrón en un estado unido de una molécula o metal se deslocaliza en muchos orbitales atómicos. El IPR proporciona un recuento razonable de cuántos átomos se deslocaliza un enlace, incluso cuando la distribución de probabilidad no se distribuye de manera uniforme (por ejemplo, en algo mucho más complicado que el benceno).
Aquí hay algunos detalles técnicos, que realmente no son tan complicados. Puede calcular el IPR con
[matemáticas] \ text {IPR} = \ frac {1} {\ sum_i p_i ^ 2} [/ matemáticas],
donde [math] p_i [/ math] es la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado [math] i [/ math]. (Para un sistema cuántico, elegiría [math] p_i = | \ psi_i | ^ 2 [/ math], donde [math] \ psi_i [/ math] es la amplitud de la función de onda en el estado [math] i [/ matemáticas].)
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El IPR es una forma útil de cuantificar la localización porque es fácil de calcular (dado que se conoce la distribución de probabilidad) y se comporta con sensatez:
- Tiene límites razonables. Si una partícula se localiza en un solo estado, entonces [math] p_j = 1 [/ math] para alguna j , entonces IPR = 1. En contraste, si una partícula se divide uniformemente en N estados con [math] p_i = 1 / N [/ math], entonces tiene IPR = N.
- Aumenta de manera monotónica cuando la probabilidad se intercambia entre dos estados de modo que la distribución sea más equilibrada, por lo que siempre cae entre los límites de 1 y N.
Aquí, por ejemplo, hay una gráfica del IPR para un sistema de dos estados (por ejemplo, para un electrón compartido entre dos átomos): 
El IPR generalmente no es un número entero, pero a veces es sensato describir un electrón como localizado en un número fraccional de átomos.
