¿Por qué el tensor de Einstein tiene divergencia cero?

Como ha inferido correctamente, el tensor de Einstein, [math] G _ {\ mu \ nu} [/ math], proporciona una descripción de la curvatura del espacio-tiempo debido a la presencia de energía o masa descrita por el tensor de energía-momento de estrés. , [matemáticas] T _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas].

La divergencia cero del tensor de estrés proviene del requisito de conservación de la materia y la energía y después de formular las ecuaciones de campo de Einstein, se deduce que el LHS que contiene el tensor de Einstein también debe tener divergencia cero. La clave es que no es directamente análogo a hundir y generar términos magnéticos, lo que crea una divergencia distinta de cero como usted dice. Además, en la geometría Psuedo-Riemanniana 4D de la Relatividad General, en lugar de simples derivadas parciales para divergencia, se utilizan las derivadas covariantes:

El tensor de Einstein viene dado por:

[matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]

Donde [math] R _ {\ mu \ nu} [/ math] es el tensor de curvatura de Ricci, [math] R [/ math] es el escalar de curvatura y [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] es el tensor métrico

Su derivada covariante se establece en cero debido a su conexión con el tensor de tensión (conservación de energía) y se define como:

[matemáticas] G _ {\ mu \ nu; c} = G _ {\ mu \ nu, c} – \ Gamma _ {\ mu c} ^ d G_ {d \ nu} – \ Gamma _ {\ nu c} ^ d G_ { \ mu d} = 0 [/ matemáticas]

Donde los términos [math] \ Gamma [/ math] son ​​coeficientes de conexión definidos usando la métrica.

La divergencia que usaría ‘normalmente’ está dada simplemente por el primer término en el RHS anterior con la coma en lugar del punto y coma.

Disculpas si ya sabías todo eso, pero si es así, no estoy seguro de qué más querrías aclarar en términos de darse cuenta de que la divergencia de estos tensores tiene que ser cero debido a las leyes de conservación conocidas: puedes crear un campo magnético usando una carga pero no energía.

Espero que esto ayude.

La divergencia cero del tensor de Einstein es una divergencia 4, pero la divergencia cero del campo magnético es una divergencia 3. Por lo tanto, el campo magnético no tiene fuente (sin cargas magnéticas ni monopolos), pero el tensor de Einstein tiene una fuente conservada. La diferencia se debe a que la ecuación de continuidad de Einstein se expresa como la divergencia cero 4 de una corriente 4, mientras que la ecuación de Maxwell de divergencia magnética expresa la divergencia cero 3 de una corriente 3.

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