¿Usar el cálculo en física sería incorrecto en principio si el universo fuera discreto?

¡No hay principios en física!

Cualquier herramienta matemática que haga buenas predicciones es la herramienta adecuada para el trabajo. Ya sabemos que el cálculo puede usarse para hacer excelentes predicciones físicas en muchos escenarios, y descubrir que el universo era espacialmente discreto no cambiaría ese hecho.

En realidad, ¡ya hacemos esto! En química, por ejemplo, el cálculo se usó incluso antes de que supiéramos que la materia estaba compuesta de moléculas discretas. Ahora sabemos la verdad, pero aún utilizamos las mismas herramientas, porque todavía funcionan. Lo mismo en biología! Los biólogos usan el cálculo para describir poblaciones de bichos, aunque, por supuesto, no se pueden tener conejos [matemáticos] e ^ {3/2} [/ matemáticos]. 🙂

La idea de que el universo podría ser discreto se basa en la idea de que las cosas solo pueden volverse tan pequeñas. La longitud de Planck es de 10 a 36 metros, mucho más pequeña que un electrón o un quark. Se cree que los efectos de la mecánica cuántica harían que los intentos de medir algo más pequeño que la longitud de Planck no tengan sentido.

¿Significa esto que el cálculo que (principalmente) analiza funciones continuas ya no es válido?

Seguramente no.

Las líneas que dibujamos para describir estas funciones se trazan en papel que tiene granularidad. Esos granos están compuestos de partículas más pequeñas todavía. A nuestros ojos, estos detalles ultra pequeños se mezclan en un todo continuo. Del mismo modo, la muy pequeña hipótesis de discretización del espacio -del universo- no debería importar a escalas más grandes.

Movido por esta pregunta, hice un programa de Java. Miré un cuadrado dividido en N ^ 2 fichas cuadradas. Desde el centro comencé por el mosaico separado N-2 del centro, coordina x = N-2 y = 0

Luego calculo cuál de las baldosas que rodean la corriente está más cerca de los radios conocidos. Pero los coners no están permitidos, quiero decir, puedes moverte como la torre en el ajedrez, pero un paso a la vez.

El programa dibuja un círculo mejor cuando N crece, la proporción

El número de pasos de una ronda sobre N-2 (radios) se acercó a 2 pi a medida que N crecía.

Esto me convenció de que valía la pena usar idealizaciones como pi, infinito, etc. porque el discreto tiende a calcular las N grandes.

Sin embargo, otras simulaciones como escalar una diagonal son lo suficientemente tercas como para hacerme dudar. La diagonal de un cuadrado se escala en pasos de 2N, no importa cuán grande sea N. Nunca tiende a: N squareRoot (2). ¿Qué es lo que trae la naturaleza?

Mi modelo del universo es eso.

Solo hay una partícula en la naturaleza y un tipo de interacción entre partículas. Si denotamos “a” para el estado de una partícula. “a2” puede ser otro estado, después de una interacción.

De esta manera, construimos grupos cíclicos finitos de partículas que interactúan solo entre ellos, Go Together (para eso es un grupo).

Esta característica (permanecer juntos como un grupo) nos permite las siguientes flexibilidades para luego explicar una amplia variedad de experimentos:

– solo los grupos son OBSERVABLES, todas las demás interacciones ocurren tan rápido que nunca se detectarán. Las únicas cosas que observamos son las que REPETIR, las que duran lo suficiente como para ser rastreadas, para interactuar con nuestros instrumentos.

– La riqueza de los grupos finitos nos permite buscar qué grupo finito sería el quark, el electrón, etc. Explorar el modelo estándar a la luz de grupos finitos es la línea de investigación que se lanzará.

– ir juntos en un grupo puede representarse como las olas en el mar, se asemeja a un grupo que van juntos pero es una ola. De la misma manera, el grupo de electrones se asemeja a una onda y esto explica el experimento de la rendija doble.

También tuve este pensamiento hace un tiempo, en varias formas. Creo que el ejemplo más poderoso que me ha permitido descartarlo es la idea de un círculo. Si sabemos que un círculo es un objeto que tiene infinitas caras, en el paradigma de los átomos indivisibles (usados ​​en el sentido griego) esto parece ser imposible. Por lo tanto, la relación que hemos encontrado para relacionar la circunferencia de un círculo con su radio parece ser completamente inútil. Este modo de pensar nos ha llevado a un lugar en el que ahora creemos que esta relación es inútil para nosotros, ya que nunca se puede incorporar en ningún sistema físico. Realmente ni siquiera necesitábamos recurrir al argumento de la cara infinita para ver que en realidad es un concepto imposible de representar: es trascendental , no hay representación física finita para este número.

Dicho esto, esto es claramente contradictorio con la intuición. En las matemáticas y en todos los campos que lo utilizan, los límites, las idealizaciones y las generalizaciones se utilizan todo el tiempo de una manera que, aunque quizás no sea físicamente exacta, es manejable para el análisis y el modelado. Entonces, puede ser correcto, el cálculo quizás no sea un modelo correcto para el movimiento en un sistema fundamentalmente discreto, sin embargo, es una estimación, teoría, modelo, etc. útil, ya que examinamos este sistema como una colección de prácticamente (en un ser humano sentido) partículas infinitas.

Si funciona (dándole una respuesta a un grado de precisión utilizable), úselo.

Lo mismo se aplica a los flujos laminares en la mecánica de fluidos. El flujo laminar es una abstracción matemática en la que todas las moléculas viajan en caminos paralelos con una distribución de velocidad perfectamente uniforme, no existe en el mundo real.

Entonces, ¿por qué usar cálculos de flujo laminar? Porque las ecuaciones son fáciles de resolver. Si se puede demostrar que la solución es correcta con un grado útil de precisión, entonces el flujo es “laminar”.

No, siempre que la discretización pueda ser insignificante en relación con los eventos nanoscópicos, sin importar lo macroscópico.
Compruebe la longitud de Planck: 10 ^ -27 m
El átomo mide aproximadamente 10 ^ -10 m “de ancho”.
Entonces, esa longitud está fuera de nuestro alcance independientemente del experimento, por el momento, eso es.
Ese sería el “tamaño” de discretización del espacio-tiempo que, por lo tanto, dejaría de ser un continuo.
Sin embargo, si aleja la imagen a escala nanoscópica o superior; el cálculo funciona.
Y, de hecho lo hace.
¿Pero el espacio-tiempo es discreto? No puedo decir Según los datos actuales, no. Solo el tiempo revelará ese misterio.

En principio, sí, creo que sí, pero como todavía no lo hemos notado, las partes discretas serían extremadamente pequeñas, no infinitesimales, pero probablemente lo suficientemente cercanas para todas las aplicaciones prácticas de cálculo.