Suponga que f (z) es una función analítica en algún subconjunto abierto U del plano complejo C. Suponga que F (z) es una función analítica en un subconjunto abierto V del plano complejo, y que V contiene U.
Si F (z) = f (z) cuando z está restringido a U, entonces se dice que F es una continuación analítica de f.
Entonces, la continuación analítica es un proceso que extiende el dominio de definición de una función analítica.
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Aquí hay una muy buena discusión de algunas de las técnicas mediante las cuales se puede realizar la continuación analítica, utilizando la serie geométrica como ejemplo:
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Hay muchos usos de la continuación analítica en la teoría de alta energía, ya que uno se ocupa muy comúnmente de funciones de una variable compleja que son principalmente analíticas.
Permítanme dar un ejemplo bastante sencillo, que en realidad es solo un truco técnico.
Las integrales que surgen en la teoría de campo cuántico perturbativo son generalmente integrales divergentes, y para llevar a cabo el programa de renormalización, necesitan ser reguladas.
Una forma de hacerlo es escribir estas integrales, después de hacer una rotación de Wick al espacio euclidiano (la rotación de Wick en sí misma es una forma de continuación analítica) en función de la dimensión d del espacio.
Resulta que esta función puede continuar analíticamente a una función compleja de valores complejos de la dimensión d. Resulta ser una función meromórfica en general, y tiene polos simples ubicados en ciertos valores integrales de d, d = 4 generalmente es el caso de interés.
El uso de esta técnica es que los singulares de las integrales se han aislado en los polos simples, y luego se pueden definir contra-términos que se restan, para cancelar los polos. Entonces, el límite d-> 4 se puede tomar con seguridad.
Hay muchos más ejemplos no triviales del uso de la continuación analítica en la teoría de alta energía, y hay otras formas de regular las integrales de Feynman, pero este es un ejemplo.
