tl; dr: Personalmente creo que el artículo de Wikipedia apesta. Las resonancias de Feshbach nos permiten sintonizar los átomos de longitud de dispersión en una gran variedad de valores (¡incluso permitiéndonos cambiar también el signo)! Para conocer la longitud de dispersión, vea esta respuesta (escrita hace muchísimo tiempo): ¿Qué es la longitud de dispersión? ¡Debido a que podemos ajustar la longitud de dispersión, podemos controlar la fuerza de interacción entre los átomos en función del campo magnético!
[matemáticas] a = a_ {bg} \ left (1 – \ frac {\ Delta B} {B – B_0} \ right) [/ math]
Además, no sé cómo arroja luz sobre la astrofísica: alguien más experimentado en esta conexión podría dar más detalles.
** Estoy adaptando las imágenes que tengo de una clase que tomé el año pasado en Óptica Cuántica y Gases Cuánticos. Desearía saber a quién citar / buscar las imágenes, pero no reclamo NINGUNA propiedad.
¿Qué son los canales cerrados y abiertos?
Necesitamos revisar la teoría básica de dispersión para obtener los antecedentes. Recuerde que cuando dos átomos colisionan, representamos la energía de la colisión indirectamente mediante un gráfico similar al anterior: 
que obedece a la ecuación de Schrodinger
[matemáticas] (H_0 + V) \ psi = E \ psi [/ matemáticas]
donde representamos [matemáticas] V [/ matemáticas] como un término de interacción eficaz. [math] H_0 [/ math] es generalmente un hamiltoniano sin interacciones. Antes, cuando tratamos a los átomos como partículas aburridas sin estructura, solo se consideraron las colisiones elásticas. Son posibles las resonancias elásticas de Feshbach (cesio [matemáticas] | F = 3, m_F = +3 \ rangle [/ matemáticas]) pero lo estoy ignorando para esta respuesta. Cuando consideramos que los átomos que tienen diferentes estados experimentan colisiones inelásticas, hay una especie de degeneración que evoluciona dentro de los propios estados. En particular, los átomos dispersos pueden estar en diferentes estados internos. En otras palabras, los canales de dispersión incidentes y salientes ya no son los mismos y múltiples canales podrían contribuir al potencial de dispersión. NB: Hay otras cosas a considerar con las colisiones inelásticas, pero este es un enfoque muy heurístico para introducir el concepto.
- ¿Puede existir un estado de energía no degenerado en una caja cúbica en la que los tres números cuánticos no son todos iguales?
- ¿En cuántas dimensiones existe la luz, y si existe en más de cuatro (3 + 1), ¿cómo es esto posible?
- ¿Puede el universo en su conjunto ser tratado como una ola?
- ¿Por qué la gente sigue hablando sobre el hecho de que 'la observación cambia tu respuesta' en mecánica cuántica?
- ¿Por qué un cuerpo celeste (por ejemplo, Barnard 68) con una temperatura de 60K emite luz visible, mientras que un filamento de bombilla con una temperatura de 2.7K emitiría luz visible, contradiciendo la ley de Planck?
Mencioné anteriormente que hay un cambio en la longitud de dispersión alrededor de una resonancia de Feshbach. Esto ocurre porque el estado de dispersión está acoplado al último estado límite del potencial. En particular (resonancias inelásticas de Feshbach), este acoplamiento es entre ese último estado unido y los diferentes canales entrantes y salientes .
Como nos preocupamos por los BEC (condensados de Bose-Einstein) , tendemos a tratar con átomos en el estado fundamental. ¡Esto significa que los canales entrantes y salientes están dados por diferentes estados hiperfinos! Sabemos que estos estados tienen energía variable debido al efecto Zeeman (sintonizar un campo magnético). Por lo tanto, podemos ajustar el campo magnético para reducir la energía del estado unido hasta que se acople (se degenere) con la energía de un estado de dispersión del canal incidente. En otras palabras, al cambiar el campo magnético, el estado unido soportado por el canal cerrado se sintoniza en resonancia con el canal incidente en la figura anterior. Esto induce un acoplamiento a un canal inelástico de energía aún más baja.
Aquí hay otra figura, adaptada de [1]. Y citaré un párrafo relevante que describe cómo funciona el proceso en las propias palabras de Cheng Chin:
Consideramos dos curvas de potencial molecular [matemáticas] V_ \ text {bg} (R) [/ matemáticas] y [matemáticas] V_c (R) [/ matemáticas], como se ilustra en la figura anterior. Para grandes distancias intermoleculares [matemáticas] R [/ matemáticas], el potencial de fondo [matemáticas] V_ \ text {bg} (R) [/ matemáticas] se conecta asintóticamente a dos átomos libres en el gas ultrafrío. Para un proceso de colisión, que tiene una energía muy pequeña [matemática] E [/ matemática], este potencial representa el canal energéticamente abierto, en lo sucesivo denominado canal de entrada . El otro potencial, [matemática] V_c (R) [/ matemática], que representa el canal cerrado , es importante ya que puede soportar estados moleculares unidos cerca del umbral del canal abierto.
Una resonancia de Feshbach ocurre cuando el estado molecular unido en el canal cerrado se acerca enérgicamente al estado de dispersión en el canal abierto. Entonces, incluso un acoplamiento débil puede conducir a una fuerte mezcla entre los dos canales. La diferencia de energía [matemática] E_c [/ matemática] puede controlarse mediante un campo magnético cuando los momentos magnéticos correspondientes son diferentes. Esto conduce a una resonancia de Feshbach magnéticamente sintonizada. El método de sintonización magnética es la forma común de lograr un acoplamiento resonante y ha encontrado numerosas aplicaciones. Alternativamente, el acoplamiento resonante se puede lograr por métodos ópticos, lo que lleva a resonancias ópticas de Feshbach con muchas similitudes conceptuales con el caso magnéticamente sintonizado.
Tenga en cuenta la frase muy importante: el acoplamiento resonante se realiza convenientemente ajustando magnéticamente [math] E_c [/ math] cerca de 0, si los momentos magnéticos del canal cerrado y abierto difieren. Personalmente, no puedo explicar la importancia de por qué difieren los canales cerrados y abiertos, pero debe suceder. Si observa la figura, debemos tener dos canales separados porque entonces podemos acoplar los dos canales entre sí. Si los canales fueran los mismos, ¡ya están acoplados y realmente no podemos hacer mucho al respecto!
Controlando la longitud de dispersión
Hay una TONELADA de matemáticas en esta sección en particular que no voy a revisar explícitamente (era parte de mi tarea). Sin embargo, aquí está el procedimiento general para derivar el cambio en la longitud de dispersión a medida que varía el campo magnético.
Nos dan el hamiltoniano
[matemáticas] H = \ frac {p ^ 2} {2 \ mu} \ hat {I} + \ hat {V} (r) [/ math]
dónde
[matemáticas] \ hat {V} (r> r_0) = \ left (\ begin {array} {cc} \ infty & 0 \\ 0 & 0 \ end {array} \ right) [/ math]
y
[matemáticas] \ hat {V} (r <r_0) = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2 \ mu} \ left (\ begin {array} {cc} q_c ^ 2 & \ varepsilon \\ \ varepsilon & q_o ^ 2 \ end {array} \ right) [/ math]
Asumimos [matemáticas] | q_c ^ 2 – q_o ^ 2 | \ gg \ varepsilon, r_0 ^ {- 2} [/ math]. También puede suponer que un estado de dispersión de canal abierto con energía [matemática] E = \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2 \ mu}> 0 [/ matemática] se cambia de fase como
[math] r \ psi (r> r_0) = \ left (\ begin {array} {c} 0 \\ \ sin (kr + \ delta) \ end {array} \ right) [/ math]
y
[matemáticas] r \ psi (r) = \ left (\ begin {array} {c} A \ sin (q_ + r) \ sin \ varepsilon + B \ sin (q_- r) \ cos \ varepsilon \\ A \ sin (q_ + r) \ cos \ varepsilon – B \ sin (q_- r) \ sin \ varepsilon \ end {array} \ right) [/ math]
para [matemáticas] r <r_0 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que esta última parte debe derivarse del cálculo de la función de onda dentro de un potencial cuadrado bien, pero acabo de darle la respuesta. También puede ayudar suponer que la energía del estado unido es dependiente como [math] E_c = \ mu (B-B_c) [/ math].
Esa es nuestra configuración. Te he dado el Hamiltoniano, el potencial y los estados.
- Aplique las condiciones de contorno en [math] r = r_0 [/ math].
- Calcule qué [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] debería ser (esto es como combinar ondas, un concepto muy familiar si está bien versado en Mecánica Cuántica).
… un montón de álgebra más tarde …
[matemáticas] B = \ frac {-A \ sin \ theta_ + \ sin \ varepsilon} {\ sin \ theta _- \ cos \ varepsilon} [/ math]
que da dos ecuaciones importantes:
- [math] k \ cot (kr_0 + \ theta) = q_ + \ cot \ theta_ + \ cos ^ 2 \ varepsilon + [/ math] [math] q _- \ cot \ theta _- \ sin ^ 2 \ varepsilon [/ math ]
- [matemáticas] \ tan2 \ varepsilon = \ frac {2 \ varepsilon} {q_c ^ 2 – q_0 ^ 2} [/ math]
Ahora, simplemente identificamos (efectivamente asignamos) términos en la expansión. Entonces, la primera ecuación anterior debe identificarse como equivalente a [matemáticas] – \ frac {1} {a-r_0} [/ matemáticas] y en la segunda ecuación,
[matemáticas] q _ + \ cos ^ 2 \ alpha \ cot q_ + r_0 = – \ frac {1} {a_ {bg} -r_0} [/ matemáticas]
[matemáticas] q _- \ sin ^ 2 \ alpha \ cot q_-r_0 \ aprox – \ frac {\ Gamma / 2} {kr_0 E_c} [/ matemáticas]
donde [math] a_ {bg} [/ math] es solo la longitud de dispersión de fondo. Mucha reescritura y
… un montón de álgebra más tarde …
Encontramos eso
[matemáticas] a = a_ {bg} \ left (1 – \ frac {\ Delta B} {B – B_0} \ right) [/ math]
dónde
[matemáticas] \ Delta B = \ frac {\ Gamma} {2 \ mu} \ frac {(a_ {bg} – r_0) ^ 2} {a_ {bg} r_0} [/ matemáticas] y [matemáticas] B_0 = B_c – \ frac {\ Gamma} {2 \ mu} \ frac {a_ {bg} -r_0} {r_0} [/ math]
donde la fuerza de acoplamiento de Feshbach se define como [matemáticas] \ Gamma \ aprox 4 \ alpha ^ 2 \ frac {\ hbar ^ 2 q_c ^ 2} {2 \ mu} [/ matemáticas]. Aquí [math] \ Delta B [/ math] es el ancho de resonancia con la posición de resonancia [math] B_0 [/ math]. Esto nos lleva a una hermosa segunda foto:
Tenga en cuenta que en el eje vertical superior izquierdo:
[matemáticas] \ frac {a} {a_ {bg}} = 1 – \ frac {1} {x} [/ matemáticas]
donde [math] x = \ frac {B-B_0} {\ Delta B} [/ math] está a lo largo de los ejes horizontales. Es una hermosa imagen simple que proviene de un montón de matemáticas . Realmente no he discutido la energía vinculante aquí, pero del artículo de Cheng [1]:
[matemáticas] E_b = \ frac {\ hbar ^ 2} {2 \ mu a ^ 2} [/ matemáticas] (2)
[1] Un documento útil de Cheng Chin (un ex asesor mío): Página sobre Arxiv.
