El hamiltoniano del oscilador armónico es un operador hermite, pero no es obvio que se apliquen los teoremas para los operadores hermite en espacios de dimensiones finitas, ya que el espacio es de dimensiones infinitas en este caso.
El problema no es del todo Sturm-Liouville, ya que el intervalo durante el cual se extienden las soluciones es toda la línea real. Sin embargo, el espectro es discreto: no hay continuo y los valores propios son reales. El operador es compacto y el espectro está limitado a continuación. Resulta para este caso que la teoría se va.
De esto se deduce que las funciones propias del oscilador armónico forman una base ortonormal completa para el espacio de funciones regulares en el infinito: funciones en [matemáticas] L ^ 2 (R) [/ matemáticas]. Este es el espacio de funciones integrables cuadradas en los números reales, con la norma [matemática] L ^ 2 [/ matemática], con integración definida en el sentido de Lebesgue.
- ¿Cuáles son los generadores de simetría esférica?
- La mecánica clásica y la mecánica cuántica dicen que un sistema tiene simetría de inversión de tiempo. Entonces, ¿por qué podemos distinguir entre pasado y futuro?
- ¿Cuál es una explicación simple de la física cuántica?
- ¿Cuál es la forma más sencilla de explicar la mecánica cuántica?
- ¿Qué es más mierda, teoría de cuerdas o colapso de la función de onda?
Usar los operadores de escalera para construir explícitamente las funciones básicas no cambia en absoluto el resultado sobre la integridad: es completamente equivalente a resolver la ecuación de Schrödinger mediante otras técnicas. Los operadores de escalera simplemente factorizan la ecuación diferencial y permiten una solución fácil mediante técnicas de operador.
Se puede hacer algo similar para el átomo de hidrógeno no relativista, con la complicación de que también hay un continuo en este caso. Un operador con un espectro continuo es bastante más difícil de tratar, ya que las funciones propias continuas no son normalizables.
No conozco las condiciones más débiles que están permitidas en un operador hermitaño, por lo que la integridad de las funciones propias todavía es demostrable.
