El grupo ortogonal en el espacio real tridimensional, O (3, R), o el grupo de matrices ortogonales reales 3 × 3 es idéntico al grupo de isometrías de la esfera 2, dada la métrica inducida a partir de la incorporación habitual de las 2 -esfera en [matemáticas] R ^ 3 [/ matemáticas] con la métrica plana estándar.
O (3, R) es el espacio de todas las matrices ortogonales reales 3 × 3. Estas transformaciones preservan tanto la métrica euclidiana estándar en [math] R ^ 3 [/ math] como el origen de las coordenadas. O (3, R) tiene dos componentes conectados a la ruta separados: uno con el determinante +1 que contiene la transformación de identidad y otro con el determinante -1. El grupo SO (3, R) es ese componente de O (3, R) que contiene la transformación de identidad: es un subgrupo normal de O (3, R), generalmente llamado grupo de rotación 3-d, o el grupo de simetrías de La 2-esfera. Pero el grupo completo de simetrías de la esfera 2 es, por supuesto, O (3, R): incluye reflexiones, así como solo rotaciones.
El álgebra de Lie de los generadores del grupo de rotación 3-d es:
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[matemáticas] [L_i, L_j] = \ epsilon_ {ijk} L_k [/ matemáticas], {i, j, k} = 1,2,3,
donde las constantes de estructura [matemáticas] \ epsilon_ {ijk} [/ matemáticas] están dadas por el símbolo Levi-Civita totalmente antisimétrico, con [matemáticas] \ epsilon_ {123} = + 1 [/ matemáticas].
Los generadores infinitesimales de SO (3), [matemática] L_i [/ matemática], se pueden realizar, como las 3 matrices simétricas asimétricas 3 × 3 independientes proporcionadas por las constantes de estructura del álgebra de Lie:
[matemáticas] (L_i) _ {jk} = \ epsilon_ {ijk} [/ matemáticas]
En general, el grupo de simetrías de la esfera (n-1), en [matemáticas] R ^ n [/ matemáticas] viene dado por el grupo O (n, R). Esta discusión no permite, por supuesto, la existencia de estructuras exóticas diferenciables en las esferas de dimensiones superiores, pero supone que la métrica es inducida por la inclusión en [matemáticas] R ^ n [/ matemáticas].
El grupo SO (3, R) tiene el grupo de cobertura universal SU (2), y las álgebras de Lie de los dos grupos son isomorfas, pero el grupo SU (2) es una doble cobertura de SO (3) ya que el núcleo tiene orden 2. El grupo SO (n, R) tiene el grupo de cobertura Spin (n).
